Question

11．如圖，菱形ABCD中，點P是CD的中點，∠BCD=60°，射線AP交BC的延長線于點E，射線BP交DE于點K，點O是線段BK的中點．
（1）求證：△ADP≌△ECP；
（2）若BP=n•PK，試求出n的值；
（3）作BM丄AE于點M，作KN丄AE于點N，連結(jié)MO、NO，如圖2所示，請證明△MON是等腰三角形，并直接寫出∠MON的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到對應(yīng)角相等，根據(jù)全等三角形的判定定理證明結(jié)論；
（2）作PI∥CE交DE于I，根據(jù)點P是CD的中點證明CE=2PI，BE=4PI，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（3）作OG⊥AE于G，根據(jù)平行線等分線段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，證明△MON是等腰三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出∠MON的度數(shù)．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，
在△ADP和△ECP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAP=∠CEP}\\{∠ADP=∠ECP}\\{DP=CP}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△ECP；
（2）如圖1，作PI∥CE交DE于I，
則$\frac{PI}{CE}$=$\frac{DP}{DC}$，又點P是CD的中點，
∴$\frac{PI}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∵△ADP≌△ECP，
∴AD=CE，
∴$\frac{KP}{KB}$=$\frac{PI}{BE}$=$\frac{1}{4}$，
∴BP=3PK，
∴n=3；
（3）如圖2，作OG⊥AE于G，
∵BM丄AE于M，KN丄AE于N，
∴BM∥OG∥KN，
∵點O是線段BK的中點，
∴MG=NG，又OG⊥MN，
∴OM=ON，
即△MON是等腰三角形，
由題意得，△BPC，△AMB，△ABP為直角三角形，
設(shè)BC=2，則CP=1，由勾股定理得，BP=$\sqrt{3}$，
則AP=$\sqrt{7}$，
根據(jù)三角形面積公式，BM=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
由（2）得，PB=3PO，
∴OG=$\frac{1}{3}$BM=$\frac{2\sqrt{21}}{21}$，
MG=$\frac{2}{3}$MP=$\frac{2}{7}\sqrt{7}$，
tan∠MOG=$\frac{MG}{OG}$=$\sqrt{3}$，
∴∠MOG=60°，
∴∠MON的度數(shù)為120°．

點評 本題考查的是菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意銳角三角函數(shù)在解題中的運用．