Question

7．某公園要在菱形場地ABCD內(nèi)劃出一個(gè)矩形活動場地EFGH，要求矩形的四個(gè)頂點(diǎn)E、F、G、H分別在菱形場地的四條邊上，且BE=BF=DG=DH菱形的周長為4am，∠ADC=120°．
（I）如圖，設(shè)BE=xm，請直接寫出矩形EFGH的周長Cm與x之間的函數(shù)關(guān)系式．并寫出自變量的取值范圍；
（2）設(shè)矩形的面積為sm²，當(dāng)BE為多少時(shí)，劃出的矩形面積最大？請求出最大面積；
（3）若設(shè)計(jì)部門從實(shí)際需要出發(fā)，只需要矩形的面積為$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{8}$m²就滿足需要．能否獲得需要的面積？若能，說明理由；若不能．請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得△AHE是等邊三角形，即HE=（1-x）米，過點(diǎn)P作DP⊥HG于點(diǎn)P，則HG=2HP=2DHsin∠HDP=$\sqrt{3}$x米，由矩形周長公式可得；
（2）根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=a米，
∵BE=BF=DH=DG=x米，
∵∠ADC=120°，∴∠A=60°，
∴AE=AH=（a-x）米，∠ADC=120°，
∴△AHE是等邊三角形，即HE=（a-x）米，
如圖，過點(diǎn)P作DP⊥HG于點(diǎn)P，

∴HG=2HP，∠HDP=$\frac{1}{2}$∠ADC=60°，
則HG=2HP=2DHsin∠HDP=2x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$x米，
∴C=2（a-x+$\sqrt{3}$x）=（2$\sqrt{3}$-2）x+2a，（0＜x＜4）；
（2）∵HE=（a-x）米，HG=$\sqrt{3}$x米，
∴S=$\sqrt{3}$x（a-x）=-$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$ax，（0＜x＜4），
當(dāng)x=-$\frac{\sqrt{3}}{2（-\sqrt{3}）}$a=$\frac{1}{2}$a時(shí)，
S_最大=$\frac{-（\sqrt{3}a）^{2}}{4（-\sqrt{3}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²；
（3）當(dāng)矩形的面積為$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{8}$m²，
即-$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$ax=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{8}$，
解得：x₁=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$a，x₂=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$a，
∴當(dāng)BE=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$a，或$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$am時(shí)，能獲得需要的面積．

點(diǎn)評 題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)菱形的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)、三角函數(shù)表示出矩形的長寬是求得函數(shù)解析式的前提，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是求函數(shù)最值的關(guān)鍵．