Question

11．閱讀下列材料并解決后面的問題．
材料一：在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，過(guò)A作AD⊥BC于D（如圖），則sinB=$\frac{AD}{c}$，sinC=$\frac{AD}$，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．同理有：$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，所以 $\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$…（※）．
即在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，同樣地，我們還可以證明在任意的三角形中，上述結(jié)論也成立．
材料二：在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，△ABC的外接圓半徑為R，則 $\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R．
問題：已知a，b，c分別為△ABC的角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊，
①（b+c）：（a+c）：（a+b）=4：5：6，則sinA：sinB：sinC=7：5：3；
②若A=60°，a=$\sqrt{3}$，則$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=2；
③若bcosA=acosB，判斷△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 ①先根據(jù)已知條件得出a=7k，b=5k，c=3k，再用材料二的結(jié)論即可得出結(jié)論；
②先根據(jù)材料二得出R=1，再用等比定理即可得出結(jié)論；
③根據(jù)正弦定理即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵（b+c）：（a+c）：（a+b）=4：5：6，
∴$\frac{b+c}{4}=\frac{a+c}{5}=\frac{a+b}{6}$=2k，
∴b+c=4k，a+c=5k，a+b=6k，
∴a=7k，b=5k，c=3k，
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．
∴$\frac{7k}{sinA}=\frac{5k}{sinB}=\frac{3k}{sinC}$，
∴sinA：sinB：sinC=7：5：3．
故答案為：7：5：3；
②∵A=60°，a=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2=2R，
∴R=1，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=2R=2，
故答案為：2；
③∵bcosA=acosB，
∴由正弦定理得，sinAcosB=sinBcosA，
∴sinAcosB-sinBcosA=sin（A-B）=0，
由三角形的內(nèi)角和的范圍得，A=B
∴△ABC是等腰三角形，
故答案為：等腰．

點(diǎn)評(píng) 此題是材料題，主要考查學(xué)生的閱讀能力，等比的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵讀懂材料，借助已學(xué)知識(shí)解決問題．