Question

16．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，點(diǎn)E在線段BC上，射線ED⊥AB于點(diǎn)D．
（1）如圖1，點(diǎn)F在線段DE上，過F作MN∥BC，M分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)G在線段AF上，且∠GFN=∠GNF，∠GDF=∠GFD．
①試判斷DG與NG有怎樣的位置關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論；
②求證：∠1=∠2；
（2）如圖2，點(diǎn)F在線段ED的延長線上，過F作FN∥BC，M，N分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)G在線段AF上，且∠GFN=∠GNF，∠GDF=∠GFD．試探究DG與NG的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）①先由MN∥BC得出∠ANM=∠ACB=90°，即：∠GNF+∠2=90°．在Rt△AFN中，∠GFN+∠1=90°，根據(jù)∠GFN=∠GNF可得出∠1=∠2，同理可得∠DAG=∠ADG，故∠2+∠ADG=∠BAC=45°，再由D⊥AB可知∠ADF=90°，故可得出∠GDF+∠GNM的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)求出∠DFN的度數(shù)，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
②同①可得出結(jié)論；
（2）由FN∥BC得出∠GNF+∠2=90°．在Rt△AFN中，由∠GFN+∠FAN=90°得出∠FAN=∠2，再根據(jù)ED⊥AB于D得出∠GDF+∠1=90°．在Rt△AFD中，∠GFD+∠3=90°可得出∠1=∠3．同理∠FGD=∠1+∠3=2∠3．∠FGN=∠FAN+∠2=2∠FAN，∠NGD=∠FGN-∠FGD=2∠BAC．在Rt△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①∵M(jìn)N∥BC，
∴∠ANM=∠ACB=90°，即：∠GNF+∠2=90°．
在Rt△AFN中，∠GFN+∠1=90°，
∵∠GFN=∠GNF
∴∠1=∠2．
同理可得，∠DAG=∠ADG，
∴∠2+∠ADG=∠BAC=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADF=90°，
∴∠GDF+∠GNM=180°-45°=135°．
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，DE⊥AB，
∴∠BED=45°，
∴∠DEC=135°．
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠DFN=135°，
∴∠DGN=360°-135°-135°=90°，即DG⊥NG．

②∵M(jìn)N∥BC，
∴∠ANM=∠ACB=90°，即：∠GNF+∠2=90°．
在Rt△AFN中，∠GFN+∠1=90°，
∵∠GFN=∠GNF
∴∠1=∠2．

（2）DG⊥GN．
理由如下：
∵FN∥BC，
∴∠ANF=∠ACB=90°，即∠GNF+∠2=90°．
在Rt△AFN中，∠GFN+∠FAN=90°，
∵∠GFN=∠GNF
∴∠FAN=∠2．
又∵ED⊥AB于D，
∴∠ADF=90°，即：∠GDF+∠1=90°．
在Rt△AFD中，∠GFD+∠3=90°，
∵∠GDF=∠GFD，
∴∠1=∠3．
在△AGD中，∠FGD=∠1+∠3=2∠3．
在△AGN中，∠FGN=∠FAN+∠2=2∠FAN
∴∠NGD=∠FGN-∠FGD
=2∠FAN-2∠3
=2（∠FAN-∠3）
=2∠BAC．
在Rt△ABC中，∠ABC=45°，
∴∠BAC=45°．
∴∠NGD=2∠BAC=90°，
∴DG⊥GN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和定理及直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．