Question

13．如圖，Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分線AP和∠ACB的外角平分線CF相交于點D，AD交CB于P，CF交AB的延長線于F，過D作DE⊥CF交CB的延長線于點G，交AB的延長線于點E，連接CE并延長線交FG于點H，則下列結論：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG，其中正確的有①②③⑤．

Answer 1

分析 （1）設∠GCD=x，∠DAC=y，則：$\left\{\begin{array}{l}{x=y+∠ADC}\\{2x=2y+∠ABC}\end{array}\right.$，故$∠ADC=\frac{1}{2}∠ABC$=45°．
（2）根據(jù)三線合一，延長GD與AC相交于點P，則CG=CP，AP=AF；
（3）證△ACD與△AED全等即可，同時可得出三角形CDE是等腰直角三角形；
（4）注意到E是三角形CGF的垂心，從而可證△CHG≌△FHE，則FH=CH=EH+CE=GE+CE=$\sqrt{2}$CD+GH；
（5）在DF上截取DM=CD，證△EMF≌△CEG即可．

解答 解：①利用公式：∠CDA=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，①正確；
②如圖：延長GD與AC交于點P'，

由三線合一可知CG=CP'，
∵∠ADC=45°，DG⊥CF，
∴∠EDA=∠CDA=45°，
∴∠ADP=∠ADF，
∴△ADP'≌△ADF（ASA），
∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正確；
③如圖：

∵∠EDA=∠CDA，
∠CAD=∠EAD，
從而△CAD≌△EAD，
故DC=DE，③正確；
④∵BF⊥CG，GD⊥CF，
∴E為△CGF垂心，
∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均為等腰直角三角形，
∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+$\sqrt{2}$CD，故④錯誤；
⑤如圖：作ME⊥CE交CF于點M，
則△CEM為等腰直角三角形，從而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，
∵∠MFE=∠CGE，
∠CEG=∠EMF=135°，
∴△EMF≌△CEG（AAS），
∴GE=MF，
∴CF=CM+MF=2CD+GE，
故⑤正確；
綜上所述，
答案為：①②③⑤．

點評 本題考查了角平分線的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形垂心的定義和性質、全等三角形的判定與性質等多個知識點，技巧性很強，難度較大，要求學生具有較高的幾何素養(yǎng)．對于這一類多個結論的判斷型問題，熟悉常見的結論及重要定理是解決問題的關鍵，比如對第一個結論的判定，若熟悉該模型則可以秒殺．