Question

16．已知二次函數(shù)y=x²-（a-1）x+a-2，其中a是常數(shù)．
（1）求證：不論a為何值，該二次函數(shù)的圖象與x軸一定有公共點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=4時(shí)，該二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為A，與x軸交于B，D兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）利用根的判別式符號(hào)進(jìn)行證明；
（2）由拋物線解析式求得點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)，然后利用分割法來(lái)求四邊形ABCD的面積．

解答 （1）證明：y=x²-（a-1）x+a-2．
因?yàn)閇-（a-1）]²-4（a-2）=（a-3）²≥0．
所以，方程x²-（a-1）x+a-2=0有實(shí)數(shù)根．
所以，不論a為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn)；

（2）由題可知：當(dāng)a=4時(shí)，y=x²-3x+2，
因?yàn)閥=x²-3x+2=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，所以A（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{4}$），
當(dāng)y=0時(shí)，x²-3x+2=0，解得x₁=1，x₂=2，所以B（1，0），D（2，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，所以C（0，2），
所以S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=$\frac{1}{8}$+1=$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法，拋物線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，四邊形的面積的求法等，（2）利用分割法求四邊形的面積是本題的關(guān)鍵．