Question

18． 點O在直線MN上，∠AOB=∠COD=90°．
（1）如圖1，若OM平分∠AOC，∠BOC=150°，求∠BON的度數(shù)；
（2）如圖2，若2∠AOM-∠MOC=90°，在∠BOC的內(nèi)部作一條射線OP，使∠BOP：∠DOP=3：2，求∠PON與∠BOD的數(shù)量關系．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)題意，分別求出∠BOD、∠AOC的度數(shù)，然后根據(jù)OM平分∠AOC，求出∠AOM的度數(shù)，即可求出∠BON的度數(shù)是多少．
（2）根據(jù)題意，分兩種情況：①當OP在OC、OD之間時；②當OP在OB、OD之間時；然后根據(jù)∠BOP：∠DOP=3：2，分類討論，求出∠PON與∠BOD的數(shù)量關系即可．

解答 解：（1）如圖1，，
∵∠BOC=150°，∠COD=90°，
∴∠BOD=150°-90°=60°，
∴∠AOC=360-90°-60°-90°=120°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM=120°÷2=60°，
∴∠BON=180°-60°-90°=30°．

（2）①如圖2，，
設∠AOM=x，
∵2∠AOM-∠MOC=90°，
∴∠MOC=2x-90°，
∴∠BOD=360°-90°-90°-（2x-90°+x）=270°-3x，
∴∠DON=180°-90°-（2x-90°）=180°-2x，
∵∠BOP：∠DOP=3：2，
∴∠BOD：∠DOP=1：2，
∴∠DOP=2∠BOD=2（270°-3x）=540°-6x，
∴∠PON=∠DOP+∠DON=（540°-6x）+（180°-2x）=720°-8x，
∵720°-8x=$\frac{8}{3}$（270°-3x），
∴∠PON=$\frac{8}{3}$∠BOD．

②如圖3，，
設∠AOM=x，
∵2∠AOM-∠MOC=90°，
∴∠MOC=2x-90°，
∴∠BOD=360°-90°-90°-（2x-90°+x）=270°-3x，
∴∠DON=180°-90°-（2x-90°）=180°-2x，
∵∠BOP：∠DOP=3：2，
∴∠DOP=∠BOD×$\frac{2}{2+3}$=（270°-3x）×$\frac{2}{5}$=108°-1.2x，
∴∠PON=∠DON-∠DOP=（180°-2x）-（108°-1.2x）=72°-0.8x，
∵72°-0.8x=$\frac{4}{15}$（270°-3x），
∴∠PON=$\frac{4}{15}$∠BOD．
綜上，可得
∠PON=$\frac{4}{15}$∠BOD或∠PON=$\frac{8}{3}$∠BOD．

點評 （1）此題主要考查了角的計算，要熟練掌握，解答此題的關鍵是弄清楚各個角之間的關系．
（2）此題還考查了角平分線的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：一個角的平分線把這個角分成兩個大小相同的角．