Question

5．已知關(guān)于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0．
（1）若這個方程有實數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）若這個方程有一個根為1，求k的值；
（3）是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由
（4）若以方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的兩個根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點恰在反比例函數(shù)$y=\frac{m}{x}$的圖象上，求滿足條件的m的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0有實數(shù)根，即△≥0，求出k的取值范圍即可；
（2）把x=1代入方程，得到k的一元二次方程，求出k的值即可；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2k-6，x₁•x₂=k²-4k-1，結(jié)合題意列出k的方程，求出k的值；
（4）設(shè)方程的兩個根分別為x，$\frac{m}{x}$，根據(jù)題意得到m=k²-4k+4-4-1=（k-2）²-5，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的最小值．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0有實數(shù)根，
∴△≥0，
∴△=4（k-3）²-4（+k²-4k-1）≥0，即-2k+10≥0，
∴k≤5；
（2）∵方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0有一根為1，
∴把x=1代入方程得：1-2（k-3）+k²-4k-1=0，
整理得：k²-6k+6=0，
解得k₁=3+$\sqrt{3}$，k₂=3-$\sqrt{3}$；
（3）∵存在實數(shù)k，使方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等0，則令方程的兩個根分別為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2k-6，x₁•x₂=k²-4k-1，
又∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=0，即$\frac{{x}_{1+{x}_{2}}}{{x}_{1•{x}_{2}}}$=0，
∴$\frac{2k-6}{{k}^{2}-4k-1}$=0，即2k-6=0，
∴k=3；
（4）∵以方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的兩個根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點恰在反比例函數(shù)$y=\frac{m}{x}$的圖象上，
∴設(shè)方程的兩個根分別為x，$\frac{m}{x}$，
∴x•$\frac{m}{x}$=k²-4k-1，即m=k²-4k-1，
∴m=k²-4k+4-4-1=（k-2）²-5，即m=（k-2）²-5，
∴當(dāng)k=2時m有最小值為-5，
∴m的最小值為-5．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．