Question

10．如果一個多邊形的各邊都相等，且各內角也都相等，那么這個多邊形就叫做正多邊形．如圖，就是一組正多邊形，觀察每個正多邊形中∠α的變化情況，解答下列問題：

（1）將下面的表格補充完整：

正多邊形邊數	3	4	5	6	…	n
∠α的度數	60°	45°	36°	30°	…	（$\frac{180}{n}$）°

（2）根據規(guī)律，是否存在一個正多邊形，其中的∠α=21°？若存在，請求出n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據計算、觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：正n邊形中的∠α=（$\frac{180}{n}$）°；
（2）根據正n邊形中的∠α=（$\frac{180}{n}$）°，可得答案．

解答 解：（1）觀察上面每個正多邊形中的∠α，填寫下表：

正多邊形邊數	3	4	5	6	…	n
∠α的度數	60°	45°	36°	30°	…	（$\frac{180}{n}$）°

（3）不存在，理由如下：
設存在正n邊形使得∠α=21°，
得∠α=21°=（$\frac{180}{n}$）°．
解得：n=8$\frac{4}{7}$，n是正整數，n=8$\frac{4}{7}$（不符合題意要舍去），
不存在正n邊形使得∠α=21°．

點評 本題考查了多邊形內角與外角，每題都利用了正多邊形的內角：$\frac{（n-2）180°}{n}$，三角形的內角和定理，等腰三角形的兩底角相等．