Question

8．如圖，直線EF∥GH，點B、A分別在直線EF、GH上，連接AB，在AB左側(cè)作三角形ABC，其中∠ACB=90°，且∠DAB=∠BAC，直線BD平分∠FBC交直線GH于D．
（1）若點C恰在EF上，如圖1，則∠DBA=45°．
（2）將A點向左移動，其它條件不變，如圖2，設(shè)∠BAD=α．
①試求∠EBC和∠PBC的大�。ㄓ忙帘硎荆�．
②問∠DBA的大小是否發(fā)生改變？若不變，求∠DBA的值；若變化，說明理由．
（3）若將題目條件“∠ACB=90°”，改為：“∠ACB=β”，其它條件不變，那么∠DBA=$\frac{1}{2}$β．（直接寫出結(jié)果，不必證明）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠CAD=90°，然后求出∠BAC=45°，從而得到∠ABC=45°，再根據(jù)BD平分∠FBC求出∠DBC=90°，然后求解即可；
（2）①EF∥GH，得出∠2=∠3，進一步得出∠1=∠3，利用三角形的內(nèi)角和得出∠EBC，利用平角的意義得出∠PBC；
②根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠2=∠3，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出∠4，然后表示∠5，再利用平角等于180°列式表示出∠DBA整理即可得解．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論計算即可得解．

解答 解：（1）∵EF∥GH，
∴∠CAD=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∵∠DAB=∠BAC，
∴∠BAC=45°，
∴∠ABC=45°，
∵BD平分∠FBC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠DBA=90°-45°=45°；
（2）如圖，

①∵EF∥GH，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2=α，
∴∠1=∠3=α，
∵∠ACB=90°，
∴∠EBC=90°-∠1-∠3=90°-2α，
∠PBC=$\frac{1}{2}$（180°-∠EBC）=45°+α；
②設(shè)∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x，
∵EF∥GH，
∴∠2=∠3，
在△ABC內(nèi)，∠4=180°-∠ACB-∠1-∠3=180°-∠ACB-2x，
∵直線BD平分∠FBC，
∴∠5=$\frac{1}{2}$（180°-∠4）=$\frac{1}{2}$（180°-180°+∠ACB+2x）=$\frac{1}{2}$∠ACB+x，
∴∠DBA=180°-∠3-∠4-∠5，
=180°-x-（180°-∠ACB-2x）-（$\frac{1}{2}$∠ACB+x），
=180°-x-180°+∠ACB+2x-$\frac{1}{2}$∠ACB-x，
=$\frac{1}{2}$∠ACB，
=$\frac{1}{2}$×90°，
=45°；
（3）由（2）可知，
設(shè)∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x，
∵EF∥GH，
∴∠2=∠3，
在△ABC內(nèi)，∠4=180°-∠ACB-∠1-∠3=180°-∠ACB-2x，
∵直線BD平分∠FBC，
∴∠5=$\frac{1}{2}$（180°-∠4）=$\frac{1}{2}$（180°-180°+∠ACB+2x）=$\frac{1}{2}$∠ACB+x，
∴∠DBA=180°-∠3-∠4-∠5，
=180°-x-（180°-∠ACB-2x）-（$\frac{1}{2}$∠ACB+x），
=180°-x-180°+∠ACB+2x-$\frac{1}{2}$∠ACB-x，
=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∠ACB=β時，
∠DBA=$\frac{1}{2}$β．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．