Question

20．一個(gè)橫截面為拋物線形的隧道底部寬AB為12m，最大高度OP為6m，如圖，車輛雙向通行，規(guī)定車輛必須在中心線右側(cè)，距道路邊緣2m這一范圍內(nèi)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于0.4m的空隙，現(xiàn)以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．
（1）求出這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）確定通過隧道車輛的高度限制是多少m？

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax²+6，找出函數(shù)圖象上的坐標(biāo)，求出函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)題意，求出當(dāng)x=6-2時(shí)y的值，根據(jù)車輛頂部與隧道的空隙不少于0.4米可得出不等式，從而得出通過隧道車輛的高度的最大值．

解答 解：（1）可設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax²+6（a＜0），
把點(diǎn)B（6，0）坐標(biāo)代入上式，得0=36a+6，
解得：a=-$\frac{1}{6}$．
故y=-$\frac{1}{6}$x²+6（-6≤x≤6）．
（2）如圖，用線段EF表示通過隧道車輛的高度h米，延長(zhǎng)FE交拋物線于點(diǎn)C，
根據(jù)題意，則CE=CF-EF=-$\frac{1}{6}$x²+6-h≥0.4，
整理得：h≤-$\frac{1}{6}$x²+5.6（-4≤x≤4，且 x≠0 ）．
∵a=-$\frac{1}{6}$＜0，
∴當(dāng)0＜x≤4時(shí)，二次函數(shù)h隨x的增大而減�。�
當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)h取得最小值，最小值為 h=-$\frac{1}{6}$×4²+5.6≈2.93，
∴h≤2.93．
所以，通過隧道車輛的高度不能超過2.93米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，難度一般．