Question

1．如圖，在正方形ABCD中，點E是AB上一動點（不與點A，B重合），點F在AD上，過點E作EG⊥EF交BC于點G，連接FG．
（1）當BE=AF時，求證：EF=EG．
（2）若AB=4，AF=1，且設(shè)AE=n，
①當FG∥AB時，求n的值；
②當BG取最大值時，求△EFG的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，判定△AEF≌△BGE，即可得出EF=EG；
（2）①根據(jù)∠A=∠B=90°，∠AFE=∠BEG，即可判定△AEF∽△BGE，進而得到$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AE}{BG}$，即$\frac{1}{4-n}$=$\frac{n}{1}$，據(jù)此可得n的值；
②根據(jù)△AEF∽△BGE，得出$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AE}{BG}$，即BG=$\frac{AE×BE}{AF}$=n（4-n）=-n²+4n=-（n-2）²+4，進而得到當n=2時，BG有最大值4，據(jù)此可得點G與點C重合，再根據(jù)勾股定理求得EF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，EG=$\sqrt{E{B}^{2}+B{G}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，最后根據(jù)△EFG的面積=$\frac{1}{2}$EG×EF進行計算即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∵EG⊥EF，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠AFE+∠AEF=90°，
∴∠AFE=∠BEG，
在△AEF和△BGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠BEG}\\{AF=BE}\\{∠A=∠B}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BGE（ASA），
∴EF=EG；

（2）①∵FG∥AB，
∴BG=AF=1，
∵AB=4，AE=n，
∴BE=4-n，
由（1）可得∠A=∠B=90°，∠AFE=∠BEG，
∴△AEF∽△BGE，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AE}{BG}$，即$\frac{1}{4-n}$=$\frac{n}{1}$，
∴解得n₁=2-$\sqrt{3}$，n₂=2+$\sqrt{3}$；

②∵△AEF∽△BGE，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AE}{BG}$，
∴BG=$\frac{AE×BE}{AF}$=n（4-n）=-n²+4n=-（n-2）²+4，
∴當n=2時，BG有最大值4，
此時點G與點C重合，
∴EF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
EG=$\sqrt{E{B}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴△EFG的面積=$\frac{1}{2}$EG×EF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=5．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及二次函數(shù)最值問題，解決問題的關(guān)鍵是畫出圖形，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，列出比例式進行計算．