Question

13．定義：點M，N把線段AB分割成AM、MN，NB，若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割點．
應(yīng)用：（1）如圖①，已知M、N是線段AB的勾股分割點，AM=6，MN=8，求NB的長；
（2）如圖②，在△ABC中，點D、E在邊線段BC上，且BD=3，DE=5，EC=4，直線l∥BC，分別交AB、AD、AE、AC于點F、M、N、G．求證：點M，N是線段FG的勾股分割點
拓展：（3）在菱形ABCD中，∠ABC=β（β＜90°），點E、F分別在BC、CD上，AE、AF分別交BD于點M、N．
①如圖③，若BE=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{3}$CD，求證：M、N是線段BD的勾股分割點．
②如圖④，若∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，sinβ=$\frac{12}{13}$，當(dāng)點M、N是線段AB的勾股分割點時，求BM：MN：ND的值．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況進(jìn)行討論：NB為最長線段；MN為最長線段，分別根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算即可；
（2）根據(jù)BD=3，DE=5，EC=4，可得DE²=BD²+EC²，再根據(jù)直線l∥BC，可得$\frac{AF}{AB}$=$\frac{AM}{AD}$$\frac{AN}{AE}$，故可設(shè)$\frac{FM}{BD}$=$\frac{MN}{DE}$=$\frac{NG}{EC}$=k，進(jìn)而得到FM=kBD，MN=kDE，NG=kEC，再根據(jù)DE²=BD²+EC²，可得MN²=FM²+NG²，即點M，N是線段FG的勾股分割點；
（3）①先判定△BEM∽△DAM，得出$\frac{BM}{DM}$=$\frac{BE}{DA}$，再根據(jù)BE=$\frac{1}{2}$BC，可得出BM=$\frac{1}{2}$DM，BM=$\frac{1}{3}$BD，同理可得，DN=$\frac{1}{4}$BD，進(jìn)而得到MN=BD-BM-DN=$\frac{5}{12}$BD，再根據(jù)MN²=BM²+ND²，可得M、N是線段BD的勾股分割點．
②將△AND繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAD，則AD旋轉(zhuǎn)后與AB重合，點N旋轉(zhuǎn)至點K的位置，DN=BK，∠ADN=∠ABK，連接KM，先判定△KAM≌△NAM，即可得出KM=NM，再根據(jù)點M、N是線段BD的勾股分割點，可得△KBM是直角三角形，再根據(jù)sin∠KBM=$\frac{12}{13}$，可得BM：MN：ND=13：12：5或BM：MN：ND=5：12：13．

解答 解：（1）當(dāng)NB為最長線段時，
∵M(jìn)、N是線段AB的勾股分割點，AM=6，MN=8，
∴NB=$\sqrt{A{M}^{2}+M{N}^{2}}$=10；
當(dāng)MN為最長線段時，
NB=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
綜上所述，NB的值為10或2$\sqrt{7}$；

（2）證明：如圖2，∵BD=3，DE=5，EC=4，
∴DE²=BD²+EC²，
∵直線l∥BC，
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{AM}{AD}$$\frac{AN}{AE}$，
∴可設(shè)$\frac{FM}{BD}$=$\frac{MN}{DE}$=$\frac{NG}{EC}$=k，
∴FM=kBD，MN=kDE，NG=kEC，
∵DE²=BD²+EC²，
∴MN²=FM²+NG²，
∴點M，N是線段FG的勾股分割點；

（3）①證明：如圖3，∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BE，AB=BC=CD=DA，
∴△BEM∽△DAM，
∴$\frac{BM}{DM}$=$\frac{BE}{DA}$，
∵BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=$\frac{1}{2}$DM，BM=$\frac{1}{3}$BD，
同理可得，DN=$\frac{1}{4}$BD，
∴MN=BD-BM-DN=$\frac{5}{12}$BD，
∵M(jìn)N²=$\frac{25}{144}$BD²，BM²+ND²=$\frac{1}{9}$BD²+$\frac{1}{16}$BD²=$\frac{25}{144}$BD²，
∴MN²=BM²+ND²，
∴M、N是線段BD的勾股分割點．

②如圖4，將△AND繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAD，則AD旋轉(zhuǎn)后與AB重合，點N旋轉(zhuǎn)至點K的位置，DN=BK，∠ADN=∠ABK，連接KM，
∴∠KBM=∠KBA+∠ABM=∠ABC，
∵sinβ=$\frac{12}{13}$，
∴sin∠KBM=$\frac{12}{13}$，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠KAM=∠NAM，
∵AN=AK，AM=AM，
∴△KAM≌△NAM，
∴KM=NM，
∵點M、N是線段BD的勾股分割點，
∴△KBM是直角三角形，
∵sin∠KBM=$\frac{12}{13}$，
∴BM：MN：ND=13：12：5或BM：MN：ND=5：12：13．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了勾股定理的逆定理，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a²+b²=c²，那么這個三角形就是直角三角形．解題時注意輔助線的運用以及旋轉(zhuǎn)變換的運用，構(gòu)造全等三角形以及直角三角形．