Question

20．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=6cm，將紙片沿對角線AC對折，BC邊與AD邊交于點(diǎn)E，此時(shí)，△CDE恰為等邊三角形．求：
（1）AB的長度；
（2）請說明AC與BB′的位置關(guān)系．并求AC的長度；
（3）陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DF=DC=FC，∠D=60°，根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠BCA=∠ECA，再利用平行四邊形的性質(zhì)證明∠DAC=30°，∠ACD=90°，利用直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半可得CD長，進(jìn)而可得AB的長；
（2）由（1）可知，∠ACD=90°，由AB∥CD，推出∠BAC=∠ACD=90°，再利用勾股定理求出AC即可；
（3）利用三角函數(shù)值計(jì)算出AC，然后根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積可得S_△ACF=$\frac{1}{2}$S_△ACD，進(jìn)而可得答案．

解答 解：（1）∵△CDE為等邊三角形，
∴DE=DC=EC，∠D=∠CED=60°，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠BCA=∠B′CA，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC=6cm，AB=CD，
∴∠EAC=∠BCA，
∴∠EAC=∠ECA
∴EA=EC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ACD=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AD=3cm，
∵AB=3cm；

（2）結(jié)論：AC⊥BB′，
理由：由（1）可知，∠ACD=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∴AC⊥BB′，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．

（3）∵CD=3cm，∠ACD=90°，∠DAC=30°，
∴AC=3 $\sqrt{3}$cm，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$S_△ACD=$\frac{1}{4}$×AC•CD=$\frac{1}{4}$×3×3 $\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$（cm²）．

點(diǎn)評 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及翻折變換，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對邊平行且相等，直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半．