Question

20．如圖，正方形ABCD中，AD為⊙O的直徑，E為AB上一點(diǎn)將正方形沿EC折疊，點(diǎn)B落在⊙O上的F點(diǎn)．
（1）求證，F(xiàn)C是⊙O的切線；
（2）若BC=2，求tan∠AEF的值．

Answer 1

分析 （1）如圖：連接OF，OC．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OFC=∠ODC=90°，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=BC=AB=CD=2，由∠CFE=∠B=90°，得到E，F(xiàn)，O三點(diǎn)共線．根據(jù)勾股定理得到BE=$\frac{2}{3}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖：連接OF，OC．
在△OCF和△OCD中，$\left\{\begin{array}{l}{OF=OD}\\{OC=OC}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴△OCF≌△OCD，
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴CF是⊙O的切線；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC=AB=CD=2，
∵∠CFE=∠B=90°，
∴E，F(xiàn)，O三點(diǎn)共線．
∵EF=EB，
∴在△AEO中，AO=1，AE=2-BE，EO=1+BE，
∴（1+BE）²=1+（2-BE）²，
∴BE=$\frac{2}{3}$，
∴AE=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠AEF=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的判定，根據(jù)三角形全等判定CF是圓的切線，然后由翻折變換，得到對(duì)應(yīng)的角與對(duì)應(yīng)的邊分別相等，利用切線的性質(zhì)結(jié)合直角三角形，運(yùn)用勾股定理求出線段的長(zhǎng)．