Question

12．如圖，BD是⊙O的直徑，A、C是⊙O上的兩點(diǎn)，且AB=AC，AD與BC的延長線交于點(diǎn)E．
（1）試說明：△ABD∽△AEB；
（2）若AD=1，DE=3，求⊙O半徑的長．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合已知條件就可以推出∠ABC=∠ADB，再加上公共角就可以推出結(jié)論；
（2）由（1）的結(jié)論就可以推出AB長度，規(guī)矩勾股定理即可推出⊙O半徑的長．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
∴∠ABC=∠ADB，
又∠BAE=∠DAB，
∴△ABD∽△AEB；

（2）解：∵△ABD∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}$，
∵AD=1，DE=3，
∴AE=4，
∴AB²=AD•AE=1×4=4，
∴AB=2，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DAB=90°，
在Rt△ABD中，BD²=AB²+AD²=2²+1²=5，
∴BD=$\sqrt{5}$，
∴⊙O半徑的長是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理，解題的關(guān)鍵在于找到∠ABC=∠ADB，求證三角形相似．