Question

2．如圖．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²-2x-3交x軸于A、B兩點(diǎn)，直線y=$\frac{1}{3}$x-1交y軸于點(diǎn)C，若x軸上的點(diǎn)P滿足PA=PC，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}，0$）；若在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上且位于x軸上方的點(diǎn)Q滿足∠OAC＜∠QCA＜3∠OAC，則點(diǎn)Q縱坐標(biāo)y取值范圍為$0＜y＜\frac{17}{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線y=x²-2x-3交x軸于A、B兩點(diǎn)，直線y=$\frac{1}{3}$x-1交y軸于點(diǎn)C，若x軸上的點(diǎn)P滿足PA=PC，可以畫(huà)出相應(yīng)的圖形，進(jìn)而可以得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；要求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)取值范圍，關(guān)鍵是能夠根據(jù)題目中給出的信息，構(gòu)造出相應(yīng)的角，通過(guò)題目中的額已有信息，靈活變化，從而可以解答本題．

解答 解：將x=0代入y=$\frac{1}{3}$x-1得，y=-1；將y=0代入y=$\frac{1}{3}$x-1得，x=3．
∵直線y=$\frac{1}{3}$x-1交y軸于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)A，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）．
∵x軸上的點(diǎn)P滿足PA=PC，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），如下圖一所示：

∴3-x=$\sqrt{{x}^{2}+（-1）^{2}}$．
解得，x=$\frac{4}{3}$．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}，0$）．
如下圖二所示，作CD=PD，點(diǎn)D在x軸上，設(shè)DP的長(zhǎng)度為a，CD的延長(zhǎng)線交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)Q₂，CP交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)Q₁，

∵拋物線y=x²-2x-3．
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：x=$-\frac{-2}{2×1}=1$．
∵點(diǎn)Q₁，Q₂位于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，設(shè)點(diǎn)Q₁，Q₂的坐標(biāo)分別為（1，y₁），（1，y₂），
又∵PC=PA，
∴∠OAC=∠Q₁CA．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1），點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{4}{3}，0$），設(shè)過(guò)點(diǎn)CP的直線為：y=kx+b．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{\frac{4}{3}k+b=0}\end{array}\right.$
解得，k=$\frac{3}{4}$，b=-1．
∴y=$\frac{3}{4}x-1$．
將x=1代入y=$\frac{3}{4}x-1$得，y=$-\frac{1}{4}$．
故點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（1，-$\frac{1}{4}$）．
∵CD=PD，PC=PA，∠DPC=∠OAC+∠PCA，
∴∠OAC=∠PCA，∠DPC=∠DCP，∠DCP=2∠OAC．
∴∠Q₂CA=3∠OAC．
∵DP的長(zhǎng)度為a，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}，0$），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}-a，0$）．
∴$\sqrt{（-1）^{2}+（\frac{4}{3}-a）^{2}}={a}^{2}$．
解得，a=$\frac{25}{24}$．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{7}{24}，0$）．
設(shè)過(guò)點(diǎn)D（$\frac{7}{24}，0$）、C（0，-1）的直線解析式為y=mx+n．
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{24}m+n=0}\\{n=-1}\end{array}\right.$
解得，m=$\frac{24}{7}$，n=-1．
∴y=$\frac{24}{7}x-1$．
將x=1代入y=$\frac{24}{7}x-1$得，y=$\frac{17}{7}$．
故Q₂的坐標(biāo)為（1，$\frac{17}{7}$）．
∵在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上且位于x軸上方的點(diǎn)Q滿足∠OAC＜∠QCA＜3∠OAC，
∴點(diǎn)Q縱坐標(biāo)y取值范圍為：0＜y＜$\frac{17}{7}$．
故答案為：（$\frac{4}{3}，0$），0＜y＜$\frac{17}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題、直線與二次函數(shù)相交的問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是可以根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，構(gòu)造出題目中的角，靈活變化求出所求問(wèn)題的答案．