Question

11．已知Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，過(guò)點(diǎn)B的直線BE交直線AC于D，CE⊥BE于E，當(dāng)BE平分∠ABC，求證：①BD=2CE；②AB+AD=BC．

Answer 1

分析 （1）如圖1，延長(zhǎng)CE，BA交于F，根據(jù)已知條件得到∠BEF=∠BEC=90°，∠CBE=∠FBE，推出△CBE≌△FBE，由全等三角形的性質(zhì)得到CE=EF，證得CF=2CE，通過(guò)△ABD≌△ACF，得到BD=CF，等量代換得到結(jié)論；
（2）如圖2，過(guò)D作DH⊥BC于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ACB=45°，求得∠HDC=45°=∠ACB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DH=CH，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AD=DH，證得Rt△ABD≌Rt△BDH，于是得到AB=BH，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，延長(zhǎng)CE，BA交于F，
∵CE⊥BE于E，當(dāng)BE平分∠ABC，
∴∠BEF=∠BEC=90°，∠CBE=∠FBE，
在△CBE與△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠BEF=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△FBE，
∴CE=EF，
∴CF=2CE，
∵∠BAC=90°，∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABD與△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∴BD=2CE；

（2）如圖2，過(guò)D作DH⊥BC于H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=45°，
∴∠HDC=45°=∠ACB，
∴DH=CH，
∵BE平分∠ABC，
∴AD=DH，
∴AD=CH，
在Rt△ABD與Rt△BDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DH}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△BDH，
∴AB=BH，
∴BC=BH+CH=AB+AD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．