Question

18．在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），B（1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），以AB為邊作正方形ABCD，則該正方形的對角線交點坐標是（1，$\sqrt{2}$）或（1-$\sqrt{2}$，0）．

Answer 1

分析 分兩種情況：
①點D在第一象限時，作DE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，則∠AED=∠BFA=90°，求出AF=OA+OF=BF，得出△ABF是等腰直角三角形，再證出△ADE是等腰直角三角形，得出DE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$，OE=OA+AE=1+$\sqrt{2}$，得出點D的坐標為（1+$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），即可得出結(jié)果；
②點D在第三象限時，由①得出正方形的對角線交點N的坐標為（1-$\sqrt{2}$，0），即可得出結(jié)果．

解答 解：分兩種情況：
①點D在第一象限時，如圖1所示：
作DE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，則∠AED=∠BFA=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∵A（1，0），B（1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴OA=1，BF=$\sqrt{2}$，OF=$\sqrt{2}$-1，
∴AF=OA+OF=1+$\sqrt{2}$-1=$\sqrt{2}$=BF，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠BAF=45°，
∴AB=$\sqrt{2}$AF=2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=2，∠BAD=90°，
∴∠DAE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$，
∴OE=OA+AE=1+$\sqrt{2}$，
∴點D的坐標為（1+$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴BD的中點M的坐標為（1，$\sqrt{2}$），
即正方形的對角線交點坐標是（1，$\sqrt{2}$）；
②點D在第三象限時，如圖2所示：
由①得：正方形的對角線交點N的坐標是（1-$\sqrt{2}$，0）；
綜上所述：該正方形的對角線交點坐標是（1，$\sqrt{2}$）或（1-$\sqrt{2}$，0）；
故答案為：（1，$\sqrt{2}$）或（1-$\sqrt{2}$，0）．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由點的坐標得出等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵，本題需要分類討論．