Question

18．如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°，以邊BC為腰作第一個(gè)△CBC₁，且CC₁=BC，∠BCC₁=120°；以邊BC₁為腰再作第二個(gè)△C₁BC₂，且C₁C₂=BC₁，∠BC₁C₂=120°；…；按此規(guī)律所作的第n個(gè)三角形的腰長(zhǎng)為（$\sqrt{3}$）ⁿ（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及解直角三角形即可求出BC的值，同理可得出BC₁、BC₂、…、的值，根據(jù)邊長(zhǎng)的變化即可找出第n個(gè)三角形的腰長(zhǎng)BC_n-1的長(zhǎng)度，此題得解．

解答 解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖所示．
∵AB=AC=1，∠BAC=120°，
∴∠ABD=30°，BD=CD，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=$\sqrt{3}$．
同理，可得：BC₁=$\sqrt{3}$BC=3，BC₂=$\sqrt{3}$BC₁=3$\sqrt{3}$，…，
∴第n個(gè)三角形的腰長(zhǎng)BC_n-1=$（\sqrt{3}）^{n-1+1}$=$（\sqrt{3}）^{n}$．
故答案為：（$\sqrt{3}$）ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形以及規(guī)律型中數(shù)的變化類(lèi)，根據(jù)等腰三角形腰長(zhǎng)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．