Question

6．如圖1，已知一次函數(shù)y=x+3與x軸，y軸分別交于B點(diǎn)，A點(diǎn)，x正半軸上有一點(diǎn)C，∠ACO=60°，以A，B，C為頂點(diǎn)作?ABCD．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖2，將直線AB沿y軸翻折，翻折后的直線交CD于E點(diǎn)，在y軸上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q，當(dāng)DP+PQ+QE取得最小值時(shí)，求此時(shí)（DP+PQ+QE）²的值；
（3）如圖3，將△AOC向左平移使得點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O′，將△A′O′O繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤180°），在旋轉(zhuǎn)過程中，直線AB與直線A′O′、A′O交于M，G兩點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，△A′MG能否成為等腰三角形，若能，求出所滿足條件的α，若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得A（0，3）則OA=3，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得OC的長，則可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）由關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可得到AE的解析式，然后依據(jù)相互平行的直線的一次項(xiàng)系數(shù)相同以及點(diǎn)C的坐標(biāo)可求得CD的解析式，然后再求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，E′，D點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接E′D′分別交y軸和x軸與點(diǎn)P、Q，則D′E′的長為DP+PQ+QE的最小值，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可；
（3）先根據(jù)題意畫出圖形（見答圖：圖2、圖3、圖4、圖5），然后依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)，三角形的外角和的性質(zhì)、依據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義求解即可．

解答 解：（1）把x=0代入直線AB的解析式得：y=3，
∴A（0，3）．
∴OA=3．
∵在Rt△AOC中，∠ACO=60°，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3=$\sqrt{3}$．
∴C（$\sqrt{3}$，0）．

（2）∵直線AE與直線AB關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴AE的解析式為y=-x+3．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b．
∵AB∥CD，
∴k=1．
∴直線的解析式為y=x+b．
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：$\sqrt{3}$+b=0，解得：b=-$\sqrt{3}$．
∴直線CD的解析式為y=x-$\sqrt{3}$．
將y=-x+3與y=x-$\sqrt{3}$聯(lián)立解得：x=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，y=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．
∴E（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$）．
作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，E′，D點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接E′D′分別交y軸和x軸與點(diǎn)P、Q．

∵E（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$），點(diǎn)E與點(diǎn)E′關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴E′（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$）
∵AD′=AD=BC=3+$\sqrt{3}$，
∴D′（-3-$\sqrt{3}$，3）．
∴（DP+PQ+QE）²=D′E′²=（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$+3+$\sqrt{3}$）²+（3+$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$）²=48+9$\sqrt{3}$．

（3）如圖2所示：當(dāng)NM=NA′時(shí)．

∵NM=NA′，
∴∠A′MN=∠MA′N=30°．
∴∠BNO=60°．
∵OB=OA，∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°．
∴∠BON=180°-45°-60°=75°．
∴∠BOB′=75°-60°=15°，即α=15°．
如圖3所示：當(dāng)A′M=A′N時(shí)．

∵A′M=A′N，
∴∠A′MN=∠A′NM．
又∵∠A′MN+∠A′NM=∠BA′O=30°，
∴∠MNA′=15°．
∴∠BON=180°-∠OBN-∠BN0=120°．
∵∠O′OA′=60°，
∴∠BOO′=60°，即α=60°．
如圖4所示：當(dāng)MN=MA′時(shí)．

∵M(jìn)N=MA′，
∴∠MNA′=∠MA′N=30°．
∵∠MBO=45°，
∴∠BON=15°．
∴∠BOA′=165°．
∴∠BOO′=165°-60°=105°，即α=105°．
如圖5所示：當(dāng)A′N=A′M時(shí)．

∵A′N=A′M，∠NA′M=30°，
∴∠MNA′=75°．
∵∠NBO+∠BON=∠MNA′，
∴∠BON=75°-45°=30°．
∴∠A′Ox=30°．
∴∠O′Ox=30°．
∴∠BOO′=150°，即α=150°．
綜上所述，當(dāng)a為15°或60°或105°或150°時(shí)，△A′MN為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了特殊銳角三角函數(shù)值，軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、等腰三角形的性質(zhì)，找出DP+PQ+QE取得最小值的條件是解答問題（2）的關(guān)鍵，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解答問題（3）的關(guān)鍵．