Question

9．如圖，一條拋物線經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)C（8，0），A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，AB∥x軸，點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)E在線段OC上，點(diǎn)F在線段BC上，且滿足∠BEF=∠AOC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若四邊形OABE的面積為14，求S_△ECF；
（3）是否存在點(diǎn)E，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線解析式為y=ax（x-8），把點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a的值即可；
（2）首先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出△BCE的面積，再證明△BEF∽△BCE，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，進(jìn)而求出△ECF的面積；
（3）分三種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)BE=BF時，則∠BEF=∠BFE，②當(dāng)EB=EF時，則∠EBF=∠EFB，③當(dāng)FB=FE時，則∠FBE=∠FEB，分別求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax（x-8），
把A（3，4）代入得：4=a•3•（3-8），
∴a=-$\frac{4}{15}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{4}{15}$x（x-8）即y=-$\frac{4}{15}$x²+$\frac{32}{15}$x；

（2）∵AB∥x軸，
∴四邊形OABC關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∴∠AOC=∠BCO，
∴B（5，4）
∴AB=2，BC=OA=5，
∵四邊形OABE的面積為14，
∴OE=5，
∴CE=3，BE=4，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∵∠BEF=∠AOC=∠BCO，∠EBF=∠CBE，
∴△BEF∽△BCE，
∴$\frac{{{s_{△BEF}}}}{{{s_{△BCE}}}}={（{\frac{BE}{BC}}）^2}$，
即$\frac{{6-{s_{△ECF}}}}{6}={（{\frac{4}{5}}）^2}$，
∴${S_{△ECF}}=\frac{54}{25}$；

（3）存在點(diǎn)E使得△BEF為等腰三角形，
當(dāng)BE=BF時，則∠BEF=∠BFE，
∵∠BEF=∠ACO=∠BCO，
∴∠BFE=∠BCE，
∴EF與EC重合，
∴∠BEC=∠BEF=∠AOC，
∴OA∥BE，
∵AB∥x軸，
∴OE=AB=2，
∴E（2，0），
當(dāng)EB=EF時，則∠EBF=∠EFB，
∵△BEF∽△BCE，
∴∠BEC=∠BFE，
∴∠BEC=∠EBF，
∴EC=BC=5，
∴OE=OC-EC=8-5=3，
∴E（3，0），
當(dāng)FB=FE時，則∠FBE=∠FEB，
∴∠BCO=∠FEB=∠FBE，
∴BE=EC，即點(diǎn)E在BC的中垂線上，
過E作EM⊥BC，垂足為M；過A作AN⊥OC，垂足為N，
則CM=$\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$，ON=3，OA=5，
∵∠AON=∠ECM，∠ANO=∠EMC，
∴△AON∽△ECM，
∴$\frac{OA}{EC}=\frac{ON}{CM}$即$\frac{5}{EC}=\frac{3}{{\frac{5}{2}}}$，
∴EC=$\frac{25}{6}$，
∴OE=OC-EC=$8-\frac{25}{6}=\frac{23}{6}$，
∴E（$\frac{23}{6}$，0），
∴綜上所述，存在點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0）或（3，0）或（$\frac{23}{6}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，（1）和（2）兩小問比較簡單，解決第（3）問需要分三種情況進(jìn)行討論，需要熟練利用相似三角形的知識解答，有一定的難度．