Question

1．拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（-1，0）和（3，0）．
（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)-3＜x＜3時(shí)，使y=m成立的x的值恰好只有一個(gè)，求m的值或取值范圍．
（3）平移圖1中拋物線，使它過原拋物線頂點(diǎn)A，設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)為B，對(duì)稱軸交原拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)．平移后的位置如圖2，若四邊形ABCD的面積為4，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得函數(shù)值的取值范圍，可得答案．
（3）根據(jù)平移規(guī)律，可得新拋物線，根據(jù)待定系數(shù)法，可得b與a的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)值相等點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，可得答案．

解答 解：（1）將（-1，0）和（3，0）代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}-b+c=0}\\{\frac{1}{4}×9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$．
配方，得y=$\frac{1}{4}$（x-1）²-1，
頂點(diǎn)A（1，-1）．

（2）當(dāng)x=-3時(shí)，y=3；當(dāng)x=3時(shí)，y=0．
由圖象得，
直線y=m與拋物線恰只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m=-1 或0≤m＜3．
（3）設(shè)拋物線向右平移a個(gè)單位，向上平移b個(gè)單位，平移后的拋物線解析式：
y=$\frac{1}{4}$（x-1-a）²-1+b
∵拋物線過點(diǎn)A（1，-1），把A（1，-1）代入y=$\frac{1}{4}$（x-1-a）²-1+b，
得b=-$\frac{1}{4}$a²．
∴B（1+a，-1-$\frac{1}{4}$a²，D（1+a，$\frac{1}{4}$a²-1），C（1+2a，-1）
∴BD=$\frac{1}{2}$a²，AC=2a，
∵四邊形ABCD的面積為4，
∴$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2a×$\frac{1}{2}$a²=4，
解得a=2．
1+a=3，-1-$\frac{1}{4}$a²=-2，
∴B（3，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法，解（2）的關(guān)鍵利用圖象間的關(guān)系；解（3）的關(guān)鍵是利用對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半得出關(guān)于a的方程．