Question

18．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，圓D與y軸相切于點(diǎn)C（0，4），與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且AB=6．

（1）D點(diǎn)的坐標(biāo)是（5，4），圓的半徑為5；
（2）求經(jīng)過C、A、B三點(diǎn)的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為F，試證明直線AF與圓D相切；
（4）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)N，使△CBN面積最大，最大面積是多少？并求出N點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，連接AD．依據(jù)垂徑定理可知AE=3，然后依據(jù)切線的性質(zhì)可知CD⊥y軸，然后可證明四邊形OCDE為矩形，則DE=4，然后依據(jù)勾股定理可求得AD的長，故此可求得⊙D的半徑和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）先求得A（2，0）、B（8，0）．設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-8），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得a的值；
（3）求得拋物線的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后求得DF和AF的長，依據(jù)勾股定理的逆定理可證明△DAF為直角三角形，則∠DAF=90°，故此AF是⊙D的切線；
（4）過點(diǎn)N作NP∥y軸，交BC與點(diǎn)P．先求的BC的解析式，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)（a，$\frac{1}{4}$a²-$\frac{5}{2}$a+4），則點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，-$\frac{1}{2}$a+4）．則NP=-$\frac{1}{4}$a²+2a，由S_△ABC=S_△CPN+S_△PBN可得到S_△ABC與a的函數(shù)關(guān)系式，最后利用配方法求解即可．

解答 解：（1）連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，連接AD．

∵DE⊥AB，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=3．
∵⊙D與y軸相切，
∴DC⊥y軸．
∵∠COE=∠OED=∠OCD=90°，
∴四邊形OCDE為矩形．
∴OC=DE．
∵C（0，4），
∴DE=4．
在Rt△AED中，AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=5．
∴⊙D的半徑為5．
∴D（5，4）．
故答案為：（5，4），5．

（2）如圖1所示：
∵D（5，4），
∴E（5，0）．
∴A（2，0）、B（8，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-8），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：16a=4，解得：a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+4．

（3）∵y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)F（5，-$\frac{9}{4}$）．
∴DF=4+$\frac{9}{4}$=$\frac{25}{4}$，AF=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$．
又∵AD=5．
∴AD²+AF²=DF²，
∴△DAF為直角三角形．
∴∠DAF=90°．
∴AF是⊙D的切線．

（4）如圖2所示：過點(diǎn)N作NP∥y軸，交BC與點(diǎn)P．

設(shè)BC的解析式為y=kx+4，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：8k+4=0，解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4．
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)（a，$\frac{1}{4}$a²-$\frac{5}{2}$a+4），則點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，-$\frac{1}{2}$a+4）．
∴NP=-$\frac{1}{2}$a+4-（$\frac{1}{4}$a²-$\frac{5}{2}$a+4）=-$\frac{1}{4}$a²+2a．
∴S_△ABC=S_△CPN+S_△PBN=$\frac{1}{2}$×BO×PN=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{4}$a²+2a）=-（a-4）²+16．
∴當(dāng)a=4時(shí)，S_△ABC最大，最大值為16，此時(shí)，N（4，-2）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了垂徑定理、切線的性質(zhì)和判定、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)，由S_△ABC=S_△CPN+S_△PBN可得到S_△ABC與a的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．