Question

19．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是x=-1
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OM上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，直接寫(xiě)出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用頂點(diǎn)式、待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）①當(dāng)四邊形OMPQ為矩形時(shí)，滿足條件OM=PQ，據(jù)此列一元二次方程求解；
②△AON為等腰三角形時(shí)，可能存在三種情形，需要分類討論，逐一計(jì)算．

解答 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）²+k，
∵點(diǎn)A（1，0），B（0，3）在拋物線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+k=0}\\{a+k=3}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，k=4，
∴拋物線的解析式為：y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3；
（2）①∵四邊形OMPQ為矩形，
∴OM=PQ，即3t=-（t+1）²+4，
整理得：t²+5t-3=0，
解得t=$\frac{-5±\sqrt{37}}{2}$，由于t=$\frac{-5-\sqrt{37}}{2}$＜0，故舍去，
∴當(dāng)t=$\frac{\sqrt{37}-5}{2}$秒時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；
②能，Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．
若△AON為等腰三角形，有三種情況：

（I）若ON=AN，如答圖1所示：
則Q為OA中點(diǎn)，OQ=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，
∴t=$\frac{1}{2}$；
（II）若ON=OA，如答圖2所示：
設(shè)AQ=x，則NQ=AQ•tanA=3x，OQ=OA-AQ=1-x，
在Rt△NOQ中，由勾股定理得：OQ²+NQ²=ON²，
即（1-x）²+（3x）²=1²，解得x₁=$\frac{1}{5}$，x₂=0（舍去），
∴x=$\frac{1}{5}$，OQ=1-x=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{4}{5}$；
（III）若OA=AN，如答圖3所示：
設(shè)AQ=x，則NQ=AQ•tanA=3x，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：NQ²+AQ²=AN²，
即（x）²+（3x）²=1²，解得x₁=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，x₂=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$（舍去），
∴OQ=1-x=1-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴t=1-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
當(dāng)t為$\frac{1}{2}$秒、$\frac{4}{5}$秒，（1-$\frac{\sqrt{10}}{10}$）秒時(shí)，△AON為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．第（2）問(wèn)為運(yùn)動(dòng)型與存在型的綜合性問(wèn)題，注意要弄清動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，進(jìn)行分類討論計(jì)算．