Question

6．觀察下面的變形規(guī)律：$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{4}$；…
解答下面的問題：
（1）若n為正整數(shù)，若寫成上面式子形式，請(qǐng)你猜想$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）說明你猜想的正確性；
（3）計(jì)算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=$\frac{2015}{2016}$；
（4）解關(guān)于n的分式方程：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n+7}{n+9}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知等式做出猜想，寫出即可；
（2）猜想等式左邊通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，整理后判斷與右邊相等，得證；
（3）原式利用得出的規(guī)律變形，計(jì)算即可得到結(jié)果；
（4）分式方程左邊利用拆項(xiàng)法變形，整理后去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到n的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．

解答 解：（1）猜想得到$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n+1}{n（n+1）}$-$\frac{n}{n（n+1）}$=$\frac{n+1-n}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（3）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$；
（4）已知方程整理得：1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n+7}{n+9}$，即$\frac{n}{n+1}$=$\frac{n+7}{n+9}$，
去分母得：n²+9n=n²+8n+7，
解得：n=7，
經(jīng)檢驗(yàn)n=7是分式方程的解．
故答案為：（1）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；（3）$\frac{2015}{2016}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．