Question

17．某校數學興趣小組在研究二次函數及其圖象問題時，發(fā)現了三個結論：
①拋物線y=ax²+2x+3（a≠0），當實數a變化時，它的頂點都在某條直線l₁上；
②拋物線y=x²+bx+3，當實數b變化時，它的頂點都在某條拋物線f₁上
③如圖1，二次函數y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的兩個交點為A（x₁，0）、B（x₂，0），頂點為C，若△ABC為直角三角形，則b²-4ac=m
（1）求直線l₁的解析式；
（2）求拋物線f₁的解析式及m的值；
（3）如圖2，將直線l₁沿y軸向下平移k個單位得直線l₂，拋物線f₁沿直線l₁平移得拋物線f₂，若直線l₂與拋物線f₂兩個交點P、Q間的距離不小于5$\sqrt{2}$，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先找出拋物線的頂點坐標，找出頂點坐標的縱橫坐標的關系即可；
（2）同（1）的方法即可得出結論；進而有拋物線的對稱性判斷出△ABC是等腰三角形，進而得出此三角形為等腰直角三角形，即可求出m的值；
（3）先表示出l₂的解析式和設出f₂的解析式，聯立利用韋達定理求出PQ²即可建立不等式，求出k的范圍．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+3，
∴頂點坐標的橫坐標為：x=-$\frac{2}{2a}$=-$\frac{1}{a}$，縱坐標為：y=$\frac{4a×3-4}{4a}$=$\frac{3a-1}{a}$=3-$\frac{1}{a}$，
∴直線l₁的解析式為：y=x+3；
（2）∵拋物線y=x²+bx+3，
∴頂點坐標的橫坐標為：x=-$\frac{2}$，縱坐標為：y=$\frac{4×1×3-^{2}}{4×1}$=3-$\frac{^{2}}{4}$，
∴拋物線f₁的解析式為：y=3-x²=-x²+3，
∵二次函數y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的兩個交點為A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{a}）^{2}-4×\frac{c}{a}}$=$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{a}$
∵△ABC為直角三角形，則b²-4ac=m，
∴AB=$\frac{\sqrt{m}}{a}$，
∵CM=-$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=$\frac{^{2}-4ac}{4a}$=$\frac{m}{4a}$，
∵點A，B是拋物線與x軸的交點，而△ABC是直角三角形，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴CM=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{m}{4a}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{m}}{a}$，
∴m=0（舍）或m=4，
（3）由（1）知，直線l₁的解析式為：y=x+3；
∴將直線l₁沿y軸向下平移k個單位得直線l₂的解析式為：y=x+3-k①，
設拋物線f₁的解析式為：y=-x²+3沿直線l₁（y=x+3）平移得到拋物線f₂的解析式為：y=-（x-m）²+m+3②，
聯立①②得，x²+（1-2m）x+m²-m-k=0，
∴x₁+x₂=2m-1，x₁x₂=m₂-m-k，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（2m-1）²-4（m²-m-k）=4k+1，
∴y₁-y₂=x₁+3-k-（x₂+3-k）=x₁-x₂，
∴PQ²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（x₁-x₂）²=2（4k+1），
∵P、Q間的距離不小于5$\sqrt{2}$，
∴PQ²≥50，
∴2（4k+1）≥50，
∴k≥6．
直線l₂與拋物線f₂兩個交點P、Q間的距離不小于5$\sqrt{2}$，k的取值范圍是k≥6．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了拋物線的頂點坐標公式和尋找函數關系式，等腰直角三角形的性質和判定，韋達定理，利用韋達定理是解本題的關鍵，消掉參數是解本題的難點．