Question

8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求證：BC=$\frac{1}{2}$AB；
（3）點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB=8，求MN•MC的值．

Answer 1

分析 （1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可；根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；
（2）AB是直徑；故只需證明BC與半徑相等即可；
（3）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM，進(jìn)而可得△MBN∽△MCB，故BM²=MN•MC；代入數(shù)據(jù)可得MN•MC=BM²=8．

解答 （1）證明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半徑．
∴PC是⊙O的切線．

（2）證明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC．
∴BC=$\frac{1}{2}$AB．

（3）解：連接MA，MB，
∵點(diǎn)M是 $\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴$\frac{BM}{MC}$=$\frac{MN}{BM}$．
∴BM²=MN•MC．
又∵AB是⊙O的直徑，$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=8，
∴BM=4 $\sqrt{2}$．
∴MN•MC=BM²=32．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查圓的切線的判定及圓周角定理的運(yùn)用和相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．