Question

20．如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE=CF，連接BF、EF，與對角線AC交于點O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求證：OE=OF；
（2）若BC=4$\sqrt{3}$，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性質(zhì)得出∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO，進(jìn)而求出△AOE≌△COF（AAS），得出答案即可；
（2）首先求出∠BAC=30°，進(jìn)而得出∠BEF=2∠OBE，利用AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$求出即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠ACF}\\{∠CFO=∠AEO}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；

（2）解：連接OB，

∵BF=BE，OE=OF，
∴BO⊥EF，
由（1）知，△AOE≌△COF，
∴OA=OC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴BO=$\frac{1}{2}$AC=OA，
∴∠BAC=∠OBA，
又∠BEF=2∠BAC，
∴∠BEF=2∠OBE，
而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE=90°，
∴∠BAC=30°，
∴AC=2BC=2×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（8\sqrt{3}）^{2}-（4\sqrt{3}）^{2}}$=12．

點評 此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出△AOE≌△COF（AAS）是解題關(guān)鍵．