Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，將△ABC沿直線BC方向平移2.5個單位得到△DEF，AC與DE相交于G點，連接AD，AE，則下列結(jié)論：
①△AGD≌△CGE；②△ADE為等腰三角形；③AC平分∠EAD；④四邊形AEFD的面積為9．
其中正確的個數(shù)是（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由平移的性質(zhì)得出AD∥BE，AD=BE=2.5，由勾股定理求出BC，得出CE=AD，由平行線得出∠DAG=∠ECG，根據(jù)AAS即可證明△AGD≌△CGE，得出①正確；
由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AE=$\frac{1}{2}$BC=CE，得出AE=AD，②正確；
由AE=CE，得出∠EAC=∠ECG，證出∠EAC=∠DAG，得出③正確；
作AH⊥BC于H，由三角形的面積關(guān)系求出AH，由梯形的面積公式即可求出四邊形AEFD的面積，得出④正確．

解答 解：由平移的性質(zhì)得：AD∥BE，AD=BE=2.5，
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴CE=2.5，
∴AD=CE，
∵AD∥BE，
∴∠DAG=∠ECG，
在△AGD和△CGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAG=∠ECG}&{\;}\\{∠AGD=∠CGE}&{\;}\\{AD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△CGE（AAS），
∴①正確；
∵∠BAC=90°，BE=CE，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=CE=2.5，
∴AE=AD，
∴△ADE為等腰三角形，
∴②正確；
∵AE=CE，
∴∠EAC=∠ECG，
∵∠DAG=∠ECG，
∴∠EAC=∠DAG，
∴AC平分∠EAD，
∴③正確；
作AH⊥BC于H，如圖所示：
∵△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$AB•AC，
∴AH=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{12}{5}$，
∴四邊形AEFD的面積=$\frac{1}{2}$（AD+EF）×AH=$\frac{1}{2}$（2.5+5）×$\frac{12}{5}$=9，
∴④正確；
正確的個數(shù)有4個，
故選：D．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、面積的計算；熟練掌握平移的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．