Question

8．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（5，0），直線y=-$\frac{3}{4}$x+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)P是x軸上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PE⊥x軸交直線CD于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)m=$\frac{9}{2}$時(shí)，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)G，使PG+GB最小，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）若E′是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)E′落在y軸上？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用交點(diǎn)式求拋物線解析式；
（2）先利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出P（$\frac{9}{2}$，$\frac{11}{4}$），如圖1，由于點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，連結(jié)PA交直線x=2于點(diǎn)G，則PG+BG=GA+GP=AP，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)PG+GB最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線PA的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，然后計(jì)算自變量為2的函數(shù)值即可得到點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）如圖2，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)P（x，-x²+4x+5），E（x，-$\frac{3}{4}$x+3），則可計(jì)算出PE=|-x²+$\frac{19}{4}$x+2|，接著求出C（0，3），于是可計(jì)算出CE=|$\frac{5}{4}$x|，然后利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明PE=CE，所以|-x²+$\frac{19}{4}$x+2|=|$\frac{5}{4}$x|，即-x²+$\frac{19}{4}$x+2=±$\frac{5}{4}$x，再分別解方程求出x得到P點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)E與C重合，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）．

解答 解：（1）拋物線解析式為y=-（x+1）（x-5）=-x²+4x+5；
（2）∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，
∵x=$\frac{9}{2}$時(shí)，y=-x²+4x+5=$\frac{11}{4}$，
∴P（$\frac{9}{2}$，$\frac{11}{4}$），
如圖1，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，連結(jié)PA交直線x=2于點(diǎn)G，此時(shí)PG+GB最小，
設(shè)直線PA的解析式為y=kx+n，
把P（$\frac{9}{2}$，$\frac{11}{4}$），A（-1，0）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}k+n=\frac{11}{4}}\\{-k+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線PA的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∵當(dāng)x=2時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$）；
（3）如圖2，設(shè)P（x，-x²+4x+5），則E（x，-$\frac{3}{4}$x+3），
∴PE=|-x²+4x+5-（-$\frac{3}{4}$x+3）|=|-x²+$\frac{19}{4}$x+2|，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{3}{4}$x+3=3，則C（0，3），
∴CE=$\sqrt{{x}^{2}+（-\frac{3}{4}x+3-3）^{2}}$=|$\frac{5}{4}$x|，
∵E′是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
∴PE=PE′，∠EPC=∠E′PC，CE′=CE，
∵PE∥CE′，
∴∠E′CP=∠EPC，
∴∠E′CP=∠E′PC，
∴E′C=E′P，
∴PE=CE，
∴|-x²+$\frac{19}{4}$x+2|=|$\frac{5}{4}$x|，即-x²+$\frac{19}{4}$x+2=±$\frac{5}{4}$x，
當(dāng)-x²+$\frac{19}{4}$x+2=$\frac{5}{4}$x，解得x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=4，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{4}$），（4，5）；
當(dāng)-x²+$\frac{19}{4}$x+2=-$\frac{5}{4}$x，解得x₁=3-$\sqrt{11}$，x₂=3+$\sqrt{11}$（舍去），此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3-$\sqrt{11}$，2$\sqrt{11}$-3），
當(dāng)點(diǎn)E與C重合，E關(guān)于PC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'與E重合，此時(shí)點(diǎn)P在y軸上，其坐標(biāo)為（0，5），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為（$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{4}$），（4，5），（3-$\sqrt{11}$，2$\sqrt{11}$-3），（0，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)；會(huì)解決最短路徑問(wèn)題；熟練一元二次方程的解法．