Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)P時(shí)邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC交AC于F，作PE⊥AB于E．
（1）當(dāng)△PEF是等腰三角形時(shí)，求CP的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△PEF是直角三角形時(shí)，求CP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）分三種情況：①當(dāng)PE=PF時(shí)，過(guò)A作AD⊥BC于D，于是得到CD=BD=$\frac{1}{2}$BC，設(shè)PE=PF=x，通過(guò)△CFP∽△CAD于是得到CP=$\frac{9}{4}$；②當(dāng)EF=EP時(shí)，∠EPF=∠EFP，通過(guò)△EFP∽△ABC，設(shè)CP=x，則PF=$\frac{4}{3}$x，EP=$\frac{4}{5}$（6-x），得到$\frac{PE}{AB}=\frac{FP}{BC}$，即$\frac{\frac{4}{5}（6-x）}{5}=\frac{\frac{4}{3}x}{6}$，于是得到CP=$\frac{108}{43}$；③當(dāng)EF=FP時(shí)，過(guò)F作FM⊥EP于M，設(shè)PC=x，通過(guò)△FMP∽△ADC，得到$\frac{FP}{PM}=\frac{AC}{AD}=\frac{5}{4}$，于是得到PC=$\frac{18}{11}$，
（2）①當(dāng)EF∥BC時(shí)，△EFP是直角三角形，設(shè)PC=x，則CF=$\frac{5}{3}$x，PF=$\frac{4}{3}$x，EF=$\frac{16}{9}$x，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}$，于是求得PC=$\frac{27}{17}$，②當(dāng)點(diǎn)F，A重合時(shí)，△EFP是直角三角形，此時(shí)PC=3．

解答 解：（1）①當(dāng)PE=PF時(shí)，過(guò)A作AD⊥BC于D，∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴CD=3，AD=4，
在△PBE與△PCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠FPC=90°}\\{∠B=∠C}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴△PBE≌△PCF，
∴PB=CF，
設(shè)PE=PF=x，
∵PF⊥BC，
∴AD∥PF，
∴△CFP∽△CAD，
∴$\frac{FP}{AD}=\frac{CP}{CD}=\frac{CF}{AC}$，
∴PC=$\frac{3}{4}$x，CF=$\frac{5}{4}$x，
∴PC+CF=$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$x=6，
∴x=3，
∴CP=$\frac{9}{4}$；
②當(dāng)EF=EP時(shí)，∠EPF=∠EFP，
∵∠FPB=∠BEP=90°，
∴∠FPE+∠EPB=∠B+∠EPB=90°，
∴∠B=∠FPE，
∴∠EFP=∠C，
∴△EFP∽△ABC，
設(shè)CP=x，則PF=$\frac{4}{3}$x，EP=$\frac{4}{5}$（6-x），
∴$\frac{PE}{AB}=\frac{FP}{BC}$，即$\frac{\frac{4}{5}（6-x）}{5}=\frac{\frac{4}{3}x}{6}$，
∴x=$\frac{108}{43}$，
∴CP=$\frac{108}{43}$；
③當(dāng)EF=FP時(shí)，過(guò)F作FM⊥EP于M，設(shè)PC=x，
∵∠FPE+∠EPD=∠EPD+∠B=90°，
∴∠FPE=∠B=∠C，
∴△FMP∽△ADC，
∴$\frac{FP}{PM}=\frac{AC}{CD}=\frac{5}{3}$，
∴$\frac{\frac{4}{3}x}{\frac{2}{5}（6-x）}=\frac{5}{3}$，
∴x=2，
∴PC=2；

（2）①當(dāng)EF∥BC時(shí)，△EFP是直角三角形，
設(shè)PC=x，則CF=$\frac{5}{3}$x，PF=$\frac{4}{3}$x，EF=$\frac{16}{9}$x，
∵$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}$，
∴$\frac{\frac{16}{9}x}{6}$=$\frac{5-\frac{5}{3}x}{5}$，
∴x=$\frac{27}{17}$，
∴PC=$\frac{27}{17}$，
②當(dāng)點(diǎn)F，A重合時(shí)，△EFP是直角三角形，
∵∠PPE=90°，AD=FP，
∴PC=CD=$\frac{1}{2}$BC=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．