Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，則CD的長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\sqrt{15}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{15}$
• D． 8

Answer 1

分析 作OH⊥CD于H，連結(jié)OC，如圖，根據(jù)垂徑定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可計(jì)算出半徑OA=4，則OP=OA-AP=2，接著在Rt△OPH中根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出OH=$\frac{1}{2}$OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理計(jì)算出CH=$\sqrt{15}$，所以CD=2CH=2$\sqrt{15}$．

解答 解：作OH⊥CD于H，連結(jié)OC，如圖，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA-AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH=$\sqrt{O{C}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴CD=2CH=2$\sqrt{15}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性質(zhì)．