Question

17．如圖，AB、CD是⊙O的直徑，BE是⊙O的弦，且BE∥CD，過(guò)點(diǎn)C的切線與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接BC．
（1）求證：BC平分∠ABP；
（2）求證：PC²=PB•PE；
（3）若BE-BP=PC=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由BE∥CD知∠1=∠3，根據(jù)∠2=∠3即可得∠1=∠2；
（2）連接EC、AC，由PC是⊙O的切線且BE∥DC，得∠1+∠4=90°，由∠A+∠2=90°且∠A=∠5知∠5+∠2=90°，根據(jù)∠1=∠2得∠4=∠5，從而證得△PBC∽△PCE即可；
（3）由PC²=PB•PE、BE-BP=PC=4求得BP=2、BE=6，作EF⊥CD可得PC=FE=4、FC=PE=8，再Rt△DEF≌Rt△BCP得DF=BP=2，據(jù)此得出CD的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）∵BE∥CD，
∴∠1=∠3，
又∵OB=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，即BC平分∠ABP；

（2）如圖，連接EC、AC，

∵PC是⊙O的切線，
∴∠PCD=90°，
又∵BE∥DC，
∴∠P=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠A+∠2=90°，
又∠A=∠5，
∴∠5+∠2=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠5=∠4，
∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCE，
∴$\frac{PC}{PE}$=$\frac{PB}{PC}$，即PC²=PB•PE；

（3）∵BE-BP=PC=4，
∴BE=4+BP，
∵PC²=PB•PE=PB•（PB+BE），
∴4²=PB•（PB+4+PB），即PB²+2PB-8=0，
解得：PB=2，
則BE=4+PB=6，
∴PE=PB+BE=8，
作EF⊥CD于點(diǎn)F，
∵∠P=∠PCF=90°，
∴四邊形PCFE為矩形，
∴PC=FE=4，F(xiàn)C=PE=8，∠EFD=∠P=90°，
∵BE∥CD，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BC}$，
∴DE=BC，
在Rt△DEF和Rt△BCP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DE=BC}\\{EF=CP}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEF≌Rt△BCP（HL），
∴DF=BP=2，
則CD=DF+CF=10，
∴⊙O的半徑為5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．