Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），一次函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x+3的圖象分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B．
（1）若點(diǎn)D是直線AB在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且BD=BC，試求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)Q是坐標(biāo)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探索在第一象限是否存在另一個(gè)點(diǎn)P，使得以B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形（BD為菱形的一邊）？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出OB=3，進(jìn)而求出BC=5，再用勾股定理建立方程求出點(diǎn)D；
（2）分點(diǎn)Q在y軸和x軸，兩種情況討論，先利用菱形的性質(zhì)求出BQ=5進(jìn)而得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用菱形的對(duì)邊平行即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)D（3a，4a+3），
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，把x=0代入y=$\frac{4}{3}$x+3中，得，y=3，
∴OB=3，
∴BE=OE-OB=4a+3-3=4a，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得，（3a）²+（4a）²=5²，
∴a=±1，
∵點(diǎn)D在第一象限，
∴a=1，
∴D（3，7）；

（2）由（1）知，BD=BC=5，
①當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上時(shí)，
設(shè)Q（0，q），
∵使得以B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形（BD為菱形的一邊），且點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，
即：四邊形BDPQ是菱形，
∴PQ∥BD，DP∥BQ，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，
∵四邊形BDPQ是菱形，
∴BQ=BD=5，
∵B（0，3），
∴Q（0，8）或（0，-2），
Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)Q（0，8）時(shí)，
∵直線BD的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+3，
∴直線PQ的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+8，
當(dāng)x=3時(shí)，y=12，
∴P（3，12），
Ⅱ、點(diǎn)Q（0，-2）時(shí)，
∵直線BD的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+3，
∴直線PQ的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-2，
當(dāng)x=3時(shí)，y=2，
∴P（3，2），
②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，
設(shè)Q（m，0），），
∵使得以B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形（BD為菱形的一邊），且點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，
即：四邊形BDPQ是菱形，
∴BQ=BD=5，
∵OB=3，
∴OQ=4，
∴Q（-4，0）或（4，0）
Ⅰ、當(dāng)Q（-4，0）時(shí)，∵一次函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x+3的圖象交x軸于點(diǎn)A，
∴A（-$\frac{9}{4}$，0），
∴點(diǎn)Q在點(diǎn)A的左側(cè)，
∴點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，不符合題意，舍去，
Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)Q（4，0）時(shí)，∵四邊形BDPQ是菱形，
∴BQ∥DP，PQ∥BD，
∵直線BD的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+3，
∴設(shè)直線PQ的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+b，
∴$\frac{4}{3}$×4+b=0，
∴b=-$\frac{16}{3}$，
∴直線PQ的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$①，
∵B（0，3），Q（4，0），
∴直線BQ的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∵D（3，7），
∴直線DP的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{37}{4}$②，
聯(lián)立①②解得，x=7，y=4，
∴P（7，4），
即：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，12）、（3，2）、（7，4）．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，菱形的性質(zhì)，勾股定理，分類(lèi)討論的思想，解（1）的關(guān)鍵是求出BC，解（2）的關(guān)鍵是分點(diǎn)Q在x軸和y軸進(jìn)行討論，是一道中等難度的中考常考題．