Question

14．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面積是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F．構(gòu)建矩形AEFD和直角三角形，通過含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得AE的長度，然后由三角形的面積公式進(jìn)行解答即可．

解答 解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F．設(shè)AB=AD=x．
又∵AD∥BC，
∴四邊形AEFD是矩形形，
∴AD=EF=x．
在Rt△ABE中，∠ABC=60°，則∠BAE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$x，
∴DF=AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
在Rt△CDF中，∠FCD=30°，則CF=DF•cot30°=$\frac{3}{2}$x．
又∵BC=6，
∴BE+EF+CF=6，即$\frac{1}{2}$x+x+$\frac{3}{2}$x=6，
解得 x=2
∴△ACD的面積是：$\frac{1}{2}$AD•DF=$\frac{1}{2}$x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了勾股定理，三角形的面積以及含30度角的直角三角形．解題的難點(diǎn)是作出輔助線，構(gòu)建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC的底邊AD以及該邊上的高線DF的長度．