Question

9．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與一次函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x的圖象交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB的上方．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4），直接寫出k的值和△PAB的面積；
（2）設(shè)直線PA、PB與x軸分別交于點(diǎn)M、N，求證：△PMN是等腰三角形；
（3）設(shè)點(diǎn)Q是反比例函數(shù)圖象上位于P、B之間的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)P、B不重合），連接AQ、BQ，比較∠PAQ與∠PBQ的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作AR⊥y軸于R，過點(diǎn)P作PS⊥y軸于S，連接PO，設(shè)AP與y軸交于點(diǎn)C，如圖1，可根據(jù)條件先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，即可求出k，然后求出直線AB與反比例函數(shù)的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得到OA=OB，由此可得S_△PAB=2S_△AOP，要求△PAB的面積，只需求△PAO的面積，只需用割補(bǔ)法就可解決問題；
（2）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，如圖2．可用待定系數(shù)法求出直線PB的解析式，從而得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，同理可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到MH=NH，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；
（3）過點(diǎn)Q作QT⊥x軸于T，設(shè)AQ交x軸于D，QB的延長(zhǎng)線交x軸于E，如圖3．可設(shè)點(diǎn)Q為（c，$\frac{4}{c}$），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AQ的解析式，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為（c-4，0），同理可得E（c+4，0），從而得到DT=ET，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得QD=QE，則有∠QDE=∠QED．然后根據(jù)對(duì)頂角相等及三角形外角的性質(zhì)，就可得到∠PAQ=∠PBQ．

解答 解：（1）k=4，S_△PAB=15．
提示：過點(diǎn)A作AR⊥y軸于R，過點(diǎn)P作PS⊥y軸于S，連接PO，
設(shè)AP與y軸交于點(diǎn)C，如圖1，
把x=4代入y=$\frac{1}{4}$x，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），
把點(diǎn)B（4，1）代入y=$\frac{k}{x}$，得k=4．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，-1），
則點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴OA=OB，
∴S_△AOP=S_△BOP，
∴S_△PAB=2S_△AOP．
設(shè)直線AP的解析式為y=mx+n，
把點(diǎn)A（-4，-1）、P（1，4）代入y=mx+n，
求得直線AP的解析式為y=x+3，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，3），OC=3，
∴S_△AOP=S_△AOC+S_△POC
=$\frac{1}{2}$OC•AR+$\frac{1}{2}$OC•PS
=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{15}{2}$，
∴S_△PAB=2S_△AOP=15；

（2）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，如圖2．
B（4，1），則反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$，
設(shè)P（m，$\frac{4}{m}$），直線PA的方程為y=ax+b，直線PB的方程為y=px+q，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{m}=ma+b}\\{-1=-4a+b}\end{array}\right.$，解得直線PA的方程為y=$\frac{1}{m}$x+$\frac{4}{m}$-1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{m}=mp+q}\\{4p+q=1}\end{array}\right.$，解得直線PB的方程為y=-$\frac{1}{m}$x+$\frac{4}{m}$+1，
∴M（m-4，0），N（m+4，0），
∴H（m，0），
∴MH=m-（m-4）=4，NH=m+4-m=4，
∴MH=NH，
∴PH垂直平分MN，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；

（3）∠PAQ=∠PBQ．
理由如下：
過點(diǎn)Q作QT⊥x軸于T，設(shè)AQ交x軸于D，QB的延長(zhǎng)線交x軸于E，如圖3．
可設(shè)點(diǎn)Q為（c，$\frac{4}{c}$），直線AQ的解析式為y=px+q，則有
$\left\{\begin{array}{l}{-4p+q=-1}\\{cp+q=\frac{4}{c}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{1}{c}}\\{q=\frac{4}{c}-1}\end{array}\right.$，
∴直線AQ的解析式為y=$\frac{1}{c}$x+$\frac{4}{c}$-1．
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{c}$x+$\frac{4}{c}$-1=0，
解得：x=c-4，
∴D（c-4，0）．
同理可得E（c+4，0），
∴DT=c-（c-4）=4，ET=c+4-c=4，
∴DT=ET，
∴QT垂直平分DE，
∴QD=QE，
∴∠QDE=∠QED．
∵∠MDA=∠QDE，
∴∠MDA=∠QED．
∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．
∵∠PAQ=∠PMN-∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM-∠QED，
∴∠PAQ=∠PBQ．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、求反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)，三角形的中線平分三角形的面積、垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、對(duì)頂角相等等知識(shí)，運(yùn)用（2）中的結(jié)論及（2）中的解題方法是解決第（3）小題的關(guān)鍵．