Question

12．（1）已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P，求證：AP=BQ．
（2）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點D且∠A=∠D．求∠D的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)知AD=BA、∠BAD=90°，由AQ⊥BE、DP⊥AQ知∠BAQ=∠ADP、∠AQB=∠DPA=90°，即可證△AQB≌△DPA得AP=BQ；
（2）由切線的性質(zhì)知∠OCD=90°即∠COB+∠D=90°，由圓周角定理知∠COB=2∠A，結(jié)合∠A=∠D可得答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°，
∵DP⊥AQ，
∴∠ADP+∠DAP=90°，
∴∠BAQ=∠ADP，
∵AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P，
∴∠AQB=∠DPA=90°，
在△AQB和△DPA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BAQ=∠ADP}\\{∠AQB=∠DPA}\\{AB=DA}\end{array}\right.$，
∴△AQB≌△DPA（AAS），
∴AP=BQ；

（2）如圖，連接OC，

∵CD是⊙O 的切線，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠COB+∠D=90°，
由圓周角定理得∠COB=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴2∠A+∠A=90°，
∴∠A=30°，
∴∠D=30°．

點評 本題主要考查正方形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．