Question

6．我們規(guī)定：在正方形ABCD中，以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)A為頂點(diǎn)，且過對角頂點(diǎn)C的拋物線，稱為這個(gè)正方形的以A為頂點(diǎn)的對角拋物線．
（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上．
①如圖1，正方形OABC的邊長為2，求以O(shè)為頂點(diǎn)的對角拋物線；
②如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長為a，其以O(shè)為頂點(diǎn)的對角拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²，求a的值；         
 （2）如圖3，正方形ABCD的邊長為4，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），正方形的四條對角拋物線在正方形ABCD內(nèi)分別交于點(diǎn)M、P、N、Q，直接寫出四邊形MPNQ的形狀和四邊形MPNQ的對角線的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①設(shè)O為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²，把B（2，2）代入即可解決問題．
②設(shè)B（a，a）．代入y=$\frac{1}{4}$x²求出a即可解決問題．
（2）如圖3中，結(jié)論：四邊形MPNQ是菱形，對角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）．求出A、B、C、D的頂點(diǎn)的對角拋物線，利用方程組求出M、P、N、Q的坐標(biāo)即可解決問題．

解答 解：（1）①如圖1中，設(shè)O為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²，

∵過B（2，2），
∴2=4a，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴所求的拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²．

②如圖2中，設(shè)B（a，a）．

則有a=$\frac{1}{4}$a²，解得a=4或0（舍棄），
∴B（4，4），
∴OA=4，
∴正方形的邊長為4．

（2）如圖3中，結(jié)論：四邊形MPNQ是菱形，對角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）．

理由：∵正方形ABCD的邊長為4，A（3，2），
∴B（7，2），C（7，6），D（3，6），
∴以A為頂點(diǎn)的對角拋物線為y=$\frac{1}{4}$（x-3）²+2，
以B為頂點(diǎn)的對角拋物線為y=$\frac{1}{4}$（x-7）²+2，
以C為頂點(diǎn)的對角拋物線為y=-$\frac{1}{4}$（x-7）²+6，
以D為頂點(diǎn)的對角拋物線為y=-$\frac{1}{4}$（x-3）²+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x-3）^{2}+2}\\{y=\frac{1}{4}（x-7）^{2}+2}\end{array}\right.$可得M（5，3），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}（x-7）^{2}+6}\\{y=-\frac{1}{2}（x-3）^{2}+6}\end{array}\right.$可得N（5，5），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x-3）^{2}+2}\\{Y=-\frac{1}{4}（x-3）^{2}+6}\end{array}\right.$可得P（3+2$\sqrt{2}$，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x-7）^{2}+2}\\{y=-\frac{1}{4}（x-7）^{2}+6}\end{array}\right.$可得Q（7-2$\sqrt{2}$，4），
∴PM=$\sqrt{（2\sqrt{2}-2）^{2}+{1}^{2}}$，
PN=$\sqrt{（2\sqrt{2}-2）^{2}+{1}^{2}}$，
QN=$\sqrt{（2\sqrt{2}-2）^{2}+{1}^{2}}$，
QM=$\sqrt{（2\sqrt{2}-2）^{2}+{1}^{2}}$，
∴PM=PN=QN=QM，
∴四邊形MPNQ是菱形，對角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，5）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法、二元二次方程組、兩點(diǎn)之間的距離公式、菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)利用方程組求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考壓軸題．