Question

11．如圖，已知四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，且AB=6cm，BC=8cm，對角線AC=l0cm．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）如圖（2），若動點Q從點C出發(fā)，在CA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點P從點B出發(fā)，在BC邊上以每秒4cm的速度向點C勻速運動，運動時間為t秒（0≤t＜2），連接BQ、AP，若AP⊥BQ，求t的值；
（3）如圖（3），若點Q在對角線AC上，CQ=4cm，動點P從B點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿BC運動至點C止．設點P運動了t 秒，請你探索：從運動開始，經過多少時間，以點Q、P、C為頂點的三角形是等腰三角形？請求出所有可能的結果．

Answer 1

分析 （1）先判定四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)∠B=90°，得出四邊形ABCD是矩形；
（2）先過Q作QM⊥BC于M點，AP與BQ交于點N，判定△ABP∽△BMQ，得出$\frac{AB}{BM}$=$\frac{BP}{MQ}$，即$\frac{6}{8-4t}$=$\frac{4t}{3t}$，求得t的值即可；
（3）分為三種情況討論：當CQ=CP=4cm時，當PQ=CQ=4cm時，當QP=CP時，分別根據(jù)等腰三角形的性質，求得BP的長，進而得到t的值．

解答 （1）證明：∵AB∥CD，AB=DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，
∴AB²+BC²=100，AC²=100，
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠B=90°，
∴四邊形ABCD是矩形；

（2）如圖，過Q作QM⊥BC于M點，AP與BQ交于點N，則
CQ=5t，QM=3t，CM=4t，MB=8-4t，
∵∠NAB+∠ABN=90°，∠ABN+∠NBP=90°，
∴∠NAB=∠NBP，且∠ABP=∠BMQ=90°，
∴△ABP∽△BMQ，
∴$\frac{AB}{BM}$=$\frac{BP}{MQ}$，即$\frac{6}{8-4t}$=$\frac{4t}{3t}$，
解得t=$\frac{7}{8}$；

（3）分為三種情況：
①如圖1所示，當CQ=CP=4cm時，BP=8-4=4cm，
∴t=4秒；
②如圖2所示，當PQ=CQ=4cm時，過Q作QM⊥BC于M，則
AB∥QM，
∴$\frac{CQ}{AC}$=$\frac{CM}{BC}$，即$\frac{4}{10}$=$\frac{CM}{8}$，
解得CM=3.2（cm），
∵PQ=CQ，QM⊥CP，
∴PC=2CM=6.4cm，
∴BP=8-6.4=1.6cm，
∴t=1.6秒；
③如圖3所示，當QP=CP時，過P作PN⊥AC于N，則
CN=$\frac{1}{2}$CQ=2，∠CNP=∠B=90°，
∵∠PCN=∠BCA，
∴△PCN∽△ACB，
∴$\frac{CN}{CB}$=$\frac{CP}{AC}$，即$\frac{2}{8}$=$\frac{CP}{10}$，
∴CP=2.5cm，
∴BP=8-2.5=5.5cm，
∴t=5.5秒．
綜上所述，從運動開始，經過4秒或1.6秒或5.5秒時，以點Q、P、C為頂點的三角形是等腰三角形．

點評 本題以動點問題為背景，主要考查了四邊形的綜合應用，解決問題時需要運用矩形的判定、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質等，解決問題的關鍵是作輔助線構造相似三角形，解題時注意分類思想的運用．