Question

11．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，4），直線y=-x+b（b≠0）與雙曲線y=$\frac{k}{x}$在第二、四象限分別相交于P，Q兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別相交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)b=-2時(shí)，求△OCD的面積；
（3）連接OQ，是否存在實(shí)數(shù)b，使得S_△ODQ=S_△OCD？若存在，請(qǐng)求出b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得k=-4；
（2）當(dāng)b=-2時(shí)，直線解析式為y=-x-2，則利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出C（-2，0），D（0，-2），然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（3）先表示出C（b，0），根據(jù)三角形面積公式，由于S_△ODQ=S_△OCD，所以點(diǎn)Q和點(diǎn)C到OD的距離相等，則Q的橫坐標(biāo)為（-b，0），利用直線解析式可得到Q（-b，2b），再根據(jù)反比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到-b•2b=-4，然后解方程即可得到滿足條件的b的值．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，4），
∴k=-1×4=-4；
（2）當(dāng)b=-2時(shí)，直線解析式為y=-x-2，
∵y=0時(shí)，-x-2=0，解得x=-2，
∴C（-2，0），
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=-x-2=-2，
∴D（0，-2），
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$×2×2=2；
（3）存在．
當(dāng)y=0時(shí)，-x+b=0，解得x=b，則C（b，0），
∵S_△ODQ=S_△OCD，
∴點(diǎn)Q和點(diǎn)C到OD的距離相等，
而Q點(diǎn)在第四象限，
∴Q的橫坐標(biāo)為-b，
當(dāng)x=-b時(shí)，y=-x+b=2b，則Q（-b，2b），
∵點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y=-$\frac{4}{x}$的圖象上，
∴-b•2b=-4，解得b=-$\sqrt{2}$或b=$\sqrt{2}$（舍去），
∴b的值為-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．也考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和三角形面積公式．