Question

2．（1）操作發(fā)現(xiàn)：
將等腰Rt△ABC與等腰Rt△ADE按如圖1方式疊放，其中∠ACB=∠ADE=90°，點(diǎn)D，E分別在AB，AC邊上，M為BE的中點(diǎn)，連結(jié)CM，DM．小明發(fā)現(xiàn)CM=DM，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說明理由．
（2）思考探究：
小明想：若將圖1中的等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，上述結(jié)論會(huì)如何呢？為此進(jìn)行以下探究：
探究一：將圖1中的等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°（如圖2），其他條件不變，發(fā)現(xiàn)結(jié)論CM=DM依然成立．請(qǐng)你給出證明．
探究二：將圖1中的等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)135°（如圖3），其他條件不變，則結(jié)論CM=DM還成立嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接DM并延長(zhǎng)，作BN⊥AB，與DM的延長(zhǎng)線交于N，連接CN，先證明△EMD≌△BMN，得到BN=DE=DA，再證明△CAD≌△CNB，得到CD=CN，證明△DCM是等腰直角三角形即可；
（2）探究一：延長(zhǎng)DM交BC于N，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定推出∠DEM=∠MBC，根據(jù)ASA推出△EMD≌△BMN，證出BN=AD，證明△CMD為等腰直角三角形即可；
探究二：作BN∥DE交DM的延長(zhǎng)線于N，連接CN，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠E=∠NBM，根據(jù)ASA證△DCA≌△NCB，推出△DCN是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可推出△CMD為等腰直角三角形．

解答 解：（1）如圖一，連接DM并延長(zhǎng)，作BN⊥AB，與DM的延長(zhǎng)線交于N，連接CN，
∵∠EDA=∠ABN=90°，
∴DE∥BN，
∴∠DEM=∠MBN，
∵在△EMD和△BMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠NBM}\\{EM=BM}\\{∠EMD=∠NMB}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD，
在△CAD和△CNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠A=∠CBN=45°}\\{BN=DA}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△CNB，
∴CD=CN，
∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，
∴CM⊥DN，
∴△DCM是等腰直角三角形，
∴DM=CM；
（2）探究一，
理由：如圖二，連接DM并延長(zhǎng)DM交BC于N，
∵∠EDA=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MBC，
∵在△EMD和△BMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠NBM}\\{EM=BM}\\{∠EMD=∠NMB}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD
∵AC=BC，
∴CD=CN，
∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，
∴CM⊥DM，∠DCM=$\frac{1}{2}$∠DCN=45°=∠BCM，
∴△CMD為等腰直角三角形．
∴DM=CM；
探究二，
理由：如圖三，連接DM，過點(diǎn)B作BN∥DE交DM的延長(zhǎng)線于N，連接CN，
∴∠E=∠MBN=45°．
∵點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)，
∴EM=BM．
∵在△EMD和△BMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠MBN}\\{EM=BM}\\{∠DME=∠NMB}\end{array}\right.$
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD，
∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠DAC=∠NBC=90°
∵在△DCA和△NCB中
$\left\{\begin{array}{l}{DA=BN}\\{∠DAC=∠NBC}\\{CA=BC}\end{array}\right.$，
∴△DCA≌△NCB（SAS），
∴∠DCA=∠NCB，DC=CN，
∴∠DCN=∠ACB=90°，
∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，
∴CM⊥DM，∠DCM=$\frac{1}{2}$∠DCN=45°=∠CDM，
∴△CMD為等腰直角三角形．
∴DM=CM

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，此題綜合性比較強(qiáng)，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，類比思想的運(yùn)用，題型較好，難度較大．