Question

7．如圖，點A，B，C在一個已知圓上，通過一個基本的尺規(guī)作圖作出的射線AP交已知圓于點D，直線OF垂直平分AC，交AD于點O，交AC于點E，交已知圓于點F．
（1）若∠BAC=50°，則∠BAD的度數(shù)為25°，∠AOF的度數(shù)為65°；
（2）若點O恰為線段AD的中點．
①求證：線段AD是已知圓的直徑；
②若∠BAC=80°，AD=6，求弧DC的長；
③連接BD，CD，若△AOE的面積為S，則四邊形ACDB的面積為8S．（用含S的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）利用角平分線的性質(zhì)以及兩角互余的關(guān)系得出答案；
（2）①利用圓周角定理結(jié)合三角形中位線定理得出即可；
②首先得出∠COD=2∠CAD=80°，再利用弧長公式求出即可；
③利用相似三角形的性質(zhì)得出四邊形ACDB的面積．

解答 （1）解：若∠BAC=50°，則∠BAD的度數(shù)為25°，
∠AOF的度數(shù)為：90°-25°=65°，
故答案為：25°；  65°；

（2）①證明：連接CD，
∵直線OF垂直平分AC，交AC于點E，
∴∠AEO=90°，AE=CE，
∵AO=OD，AE=CE，
∴OE∥CD，
∴∠AEO=∠ACD=90°，
∴線段AD是已知圓的直徑；

②解：連接OC，
由作圖可知，AP是∠BAC的平分線，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=40°，
∵弧CD所對的圓周角為∠CAD、圓心角為∠COD，
∴∠COD=2∠CAD=80°，
∴弧CD的長=$\frac{80π•3}{180}=\frac{4π}{3}$，
③∵由題意可得：OE是△ACD的中位線，∴$\frac{{S}_{△AEO}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{1}{4}$，
可得S_△ABD=S_△ACD，
∴若△AOE的面積為S，則四邊形ACDB的面積為：8S．
故答案為：8S．

點評 此題主要考查了圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)和垂徑定理等知識，熟練應(yīng)用圓周角定理得出線段AD是已知圓的直徑是解題關(guān)鍵．