Question

14．如圖1，二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象過點A（-1，3），頂點B的橫坐標為1．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）如圖2，設拋物線與x軸的另一個交點為C，點M是線段AC上的一個動點，過點M作直線MN平行于y軸，交拋物線于點N，求線段MN的最大值；
（3）點P在x軸上，△PAB為等腰三角形，寫出點P的坐標．
（備注：兩點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之間的距離為|PQ|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$）

Answer 1

分析 （1）由對稱軸和A點坐標可得到關(guān)于a、b的方程組，可求得二次函數(shù)的表達式；
（2）可先求得C點坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式，可設出M點的坐標，從而可表示出MN的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得MN的最大值；
（3）可設P（x，0），則可用x表示出PA、PB及AB的長，分PA=PB、PA=AB和PB=AB三種情況，分別得到關(guān)于x的方程，可求得P點的坐標．

解答 解：
（1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=1}\\{a-b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的表達式為y=x²-2x；

（2）在y=x²-2x中，令y=0可得0=x²-2x，解得x=0或x=2，
∴C（2，0），
設直線AC解析式為y=kx+s，
把A、C坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-k+s=3}\\{2k+s=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{s=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC解析式為y=-x+2，
∵點M是線段AC上的一個動點，
∴可設M（t，-t+2）（-1≤t≤2），則N（t，t²-2t），
∴MN=-t+2-（t²-2t）=-t²+t+2=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵-1＜0，
∴當t=$\frac{1}{2}$時，MN有最大值$\frac{9}{4}$；

（3）設P（x，0），
∵A（-1，3），B（1，-1），
∴PA=$\sqrt{（x+1）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2x+10}$，PB=$\sqrt{（x-1）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$，AB=$\sqrt{（1+1）^{2}+（-1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△PAB為等腰三角形，
∴有PA=PB、PA=AB和PB=AB三種情況，
①當PA=PB時，則$\sqrt{{x}^{2}+2x+10}$=$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$，解得x=-2，此時P點坐標為（-2，0）；
②當PA=AB時，則$\sqrt{{x}^{2}+2x+10}$=2$\sqrt{5}$，解得x=-1+$\sqrt{11}$或x=-1-$\sqrt{11}$，此時P點坐標為（-1+$\sqrt{11}$，0）或（-1-$\sqrt{11}$，0）；
③當PB=AB時，則$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$=2$\sqrt{5}$，解得x=1+$\sqrt{19}$或x=1-$\sqrt{19}$，此時P點坐標為（1+$\sqrt{19}$，0）或（1-$\sqrt{19}$，0）；
綜上可知P點坐標為（-2，0）或（-1+$\sqrt{11}$，0）或（-1-$\sqrt{11}$，0）或（1+$\sqrt{19}$，0）或（1-$\sqrt{19}$，0）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中利用條件得到關(guān)于a、b的方程組是解題的關(guān)鍵，在（2）中用M點的坐標表示出MN的長是解題的關(guān)鍵，在（3）中用P點坐標分別表示出PA、PB及AB的長是解題的關(guān)鍵，注意分三種情況．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．