Question

1．如圖，點(diǎn)E、F分別在菱形ABCD的邊AD、CD上，△EFD為等邊三角形，G是BE的中點(diǎn)，延長AG交BC于點(diǎn)H，已知AB=6，四邊形GHCF的面積是△ABG的面積的2倍，則ED的長為9-3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 如圖作，AP⊥BC于P，GQ⊥BC于Q，過點(diǎn)G作MN∥AB交AD于M，交BC于N，作MT⊥CD于T，連接CG．設(shè)DE=DF=EF=x．由題意根據(jù)S_△GCH+S_△GCF=S_△ABH，列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖作，AP⊥BC于P，GQ⊥BC于Q，過點(diǎn)G作MN∥AB交AD于M，交BC于N，作MT⊥CD于T，連接CG．設(shè)DE=DF=EF=x．

則易知AP=3$\sqrt{3}$，GH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，CH=x，CF=6-x，DM=$\frac{6+x}{2}$，MT=$\frac{\sqrt{3}（6+x）}{4}$，
由題意S_△GCH+S_△GCF=S_△ABH，
∴$\frac{1}{2}$•x•$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$•（6-x）•$\frac{\sqrt{3}（6+x）}{4}$=$\frac{1}{2}$•（6-x）•3$\sqrt{3}$，
整理得x²-18x+36=0，
解得x=9-3$\sqrt{5}$或9+3$\sqrt{5}$（舍棄），
∴DE=9-3$\sqrt{5}$，
故答案為9-3$\sqrt{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用分割法求面積，屬于中考填空題中的壓軸題．