Question

13．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象與x軸交于A（-4，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)AC．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向以$\sqrt{5}$個單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動，動點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以$\frac{3}{2}$個單位/秒的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)M、N同時出發(fā)，運(yùn)動時間為t（0＜t≤2）；
①連結(jié)MN、NC，當(dāng)t為何值時，△CMN為直角三角形；
②在兩個動點(diǎn)運(yùn)動的過程中，該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意假設(shè)拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-1），展開化簡即可；
（2）①分兩種情形①當(dāng)∠MNC=90°，如圖1中，作MH⊥AB于H，當(dāng)∠NMC=90°時，作MH⊥OA于H，分別構(gòu)建方程即可解決問題；
②分三種情形分別討論由題意M（（2t-4，t），N（-$\frac{3}{2}$t，0），設(shè)P（m，n）．a(chǎn)、當(dāng)MN為對角線時，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知$\frac{m+0}{2}$=$\frac{2t-4-\frac{3}{2}t}{2}$，$\frac{n+0}{2}$=$\frac{t+0}{2}$，解得m=$\frac{1}{2}$t-4，n=t，可得P（$\frac{1}{2}$t-4，t），把點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2，解方程即可解決．b、當(dāng)OM為對角線時，同法可得P（$\frac{7}{2}$t-4，t）．c、ON為對角線時，不存在；

解答 解：（1）由題意假設(shè)拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-1），
即y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．

（2）顯然∠NCM≠90°．
①當(dāng)∠MNC=90°，如圖1中，作MH⊥AB于H．

∵M(jìn)H∥OC，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AH}{AO}$=$\frac{MH}{OC}$，
∵AM=$\sqrt{5}$t，PA=4．OC=2，AC=2$\sqrt{5}$，
∴HM=t．AH=2t，HN=4-$\frac{3}{2}$t-2t=4-$\frac{7}{2}$t，
由△MNH∽△CNO，可得$\frac{HN}{CO}$=$\frac{MH}{NO}$，
∴$\frac{4-\frac{7}{2}t}{2}$=$\frac{t}{\frac{3}{2}t}$，
解得t=$\frac{16}{21}$，
當(dāng)∠NMC=90°時，作MH⊥OA于H，如圖2中，

由△AHM∽△MHN，可得HM²=AH•HN，
∴t²=2t•（4-$\frac{7}{2}$t），
解得t=1，
綜上所述，t=$\frac{16}{21}$s或1s時，△CNM是直角三角形．

②由題意M（（2t-4，t），N（-$\frac{3}{2}$t，0），設(shè)P（m，n）．
a、當(dāng)MN為對角線時，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知$\frac{m+0}{2}$=$\frac{2t-4-\frac{3}{2}t}{2}$，$\frac{n+0}{2}$=$\frac{t+0}{2}$，
解得m=$\frac{1}{2}$t-4，n=t，
∴P（$\frac{1}{2}$t-4，t），把點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2，
∴t=-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$t×（$\frac{1}{2}$t-5），
解得t=2或0（舍棄），
此時P（-3，2）．
b、當(dāng)OM為對角線時，同法可得P（$\frac{7}{2}$t-4，t），
把點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2，得到t=-$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$t×（$\frac{7}{2}$t-5）
解得t=$\frac{62}{49}$．
此時P（$\frac{3}{7}$，$\frac{62}{49}$）．
c、ON為對角線時，不存在．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)P（-3，2）或（$\frac{3}{7}$，$\frac{62}{49}$）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、直角三角形的判定和性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、待定系數(shù)法、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．