Question

8．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC于BD相交于點(diǎn)M，AC平分∠BAD，∠ABD的角平分線交AC于點(diǎn)E，∠CBD=∠CAD，點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)F在BD上，連接AF．
（1）如圖①，求證：∠BCE=2∠CAF；
（2）如圖②，過C作BD的垂線分別交BD、BE于點(diǎn)P、G，過E作AB的垂線交AB于點(diǎn)H，若∠BCE=4∠GCE，BE=3AE，BH：BD=15：22，試探究線段BD、CG、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)AC平分∠BAD，BE平分∠ABD，推得∠BEC=∠CBE，即可判斷出CB=CE；然后根據(jù)CN⊥BE，推得∠BCN=∠ECN；最后推得CN∥AF，即可判斷出∠BCE=2∠CAF．
（2）線段BD、CG、DF之間的數(shù)量關(guān)系為：BD-DF=$\frac{5}{4}$CG．首先作GI∥AB交AE于點(diǎn)I，作CN⊥BE于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BE交AF于點(diǎn)Q，CN與BP相交于點(diǎn)K，推得∠CDM=∠CBD，即可判斷出BC=CD；然后根據(jù)相似三角形判定的方法，推得△BHE∽△BPG，即可判斷出$\frac{BH}{BP}=\frac{BE}{BG}$=$\frac{15}{11}$，進(jìn)而推得GI=$\frac{4}{15}$AB；最后根據(jù)相似三角形判定的方法，推得△GCI∽△EBA，即可判斷出GI=$\frac{1}{3}$GC，進(jìn)而判斷出BD-DF=$\frac{5}{4}$CG即可．

解答 （1）證明：如圖①，作CN⊥BE于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BE交AF于點(diǎn)Q，，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠EBD，
∵∠BEC=∠ABE+∠BAE，∠CBE=∠EBD+∠DBC，∠DBC=∠CAD，
∴∠BEC=∠CBE，
∴CB=CE，
又∵CN⊥BE，
∴∠BCN=∠ECN，
∵點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)F在BD上，
∴BQ⊥AF，
又∵CN⊥BE，
∴CN∥AF，
∴∠CAF=∠ECN=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∴∠BCE=2∠CAF．

（2）解：線段BD、CG、DF之間的數(shù)量關(guān)系為：BD-DF=$\frac{5}{4}$CG．
如圖②，作GI∥AB交AE于點(diǎn)I，作CN⊥BE于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BE交AF于點(diǎn)Q，CN與BP相交于點(diǎn)K，，
∵∠CBM=∠DAM，∠CMB=∠DMA，
∴△CBM∽△DAM，
∴$\frac{AM}{MD}=\frac{BM}{MC}$，
又∵∠AMB=∠DMC，
∴△AMB∽△DMC，
∴∠BAM=∠CDM，
又∵∠BAM=∠DAM=∠CBD，
∴∠CDM=∠CBD，
∴BC=CD，
又∵BP⊥BD，
∴BP=PD，
∵∠ABE=∠EBD，∠BHE=∠BPG=90°，
∴△BHE∽△BPG，
∴$\frac{BH}{BP}=\frac{BE}{BG}$，
∵BH：BD=15：22，BD=2BP，
∴$\frac{BH}{BP}=\frac{BE}{BG}$=$\frac{15}{11}$，
∵GI∥AB，
∴∠EIG=∠EAB，
∴$\frac{GE}{BE}$=$\frac{GI}{AB}$=$\frac{4}{15}$，
∴GI=$\frac{4}{15}$AB，
∵A、F關(guān)于BE對(duì)稱，
∴BA=BF，
∴∠BAF=∠BFA，
∵∠BNK=∠BPG=90°，∠BKN=∠CKP，
∴△BKN∽CKP，
∴∠KBN=∠KCP，
∴∠ABE=∠KBN=∠KCP，
∵∠BCE=4∠GCE，BC=CE，
∴∠GCI=∠KCP=∠ABE，
∴△GCI∽△EBA，
∴$\frac{GC}{GI}=\frac{BE}{AE}=3$，
∴GI=$\frac{1}{3}$GC，
又∵GI=$\frac{4}{15}$AB，
∴$\frac{1}{3}$GC=$\frac{4}{15}$AB，
∴AB=$\frac{5}{4}$CG，
∴BD-DF=BF=AB=$\frac{5}{4}$CG，
∴BD-DF=$\frac{5}{4}$CG．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了相似形綜合題，考查了分析推理能力的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；③兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．