Question

20．如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，BD交于點(diǎn)O，E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，且EF∥BD
（1）求證；四邊形OBFE是平行四邊形；
（2）當(dāng)線段AD和BD之間滿足什么條件時(shí)，四邊形OBFE是矩形？并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)線段AD和BD之間滿足什么條件時(shí)，四邊形OBFE是正方形？請(qǐng)畫出圖形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）證明兩組對(duì)邊分別平行即可．
（2）結(jié)論：當(dāng)AD⊥BD時(shí)，四邊形OBFE是矩形．只要證明∠BOE=90°即可．
（3）結(jié)論：當(dāng)AD⊥BD  AD=BD時(shí)，四邊形OBFE是正方形．只要證明OB=OE即可．

解答 （1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴AE=BE
∴OE為△ABC的中位線，
∴OE∥BC，
∵EF∥BD，
∴四邊形OBFE是平行四邊形．

解：（2）結(jié)論：當(dāng)AD⊥BD時(shí)，四邊形OBFE是矩形
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=OD
∵E為AB中點(diǎn)，
∴AE=BE
∴OE為△ABD的中位線，
∴OE∥AD，
∴∠BOE=∠BDA，
∵AD⊥BD，
∴∠BOE=BDA=90°，
∵四邊形OBFE是平行四邊形，
∴四邊形OBFE是矩形．

（3）結(jié)論：當(dāng)AD⊥BD  AD=BD時(shí)，四邊形OBFE是正方形．

理由：∵OE為△ABD的中位線，
∴OE=$\frac{1}{2}$AD
∵O為BD中點(diǎn)，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD，
∵AD=BD，
∴OB=OE，
∵當(dāng)AD⊥BD時(shí)，四邊形OBFE是矩形，
∴當(dāng)AD⊥BD  AD=BD時(shí)，四邊形OBFE是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和判定、矩形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．