Question

7．已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E．
（1）如圖1，當(dāng)AC⊥BD，OF⊥CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G時，求證：∠OGA=∠BAC；
（2）如圖2，在（1）問的條件下，求證：AB=2OF；
（3）如圖3，當(dāng)AB=AD，∠BAC=∠BCD，BK⊥AC于點(diǎn)K時，且AK=1，BD=12，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)同角的余角相等，由AC⊥BD，OF⊥CD可得∠CGF=∠CDE，根據(jù)圓周角定理可得∠BAC=∠CDB，根據(jù)對頂角相等可得∠OGA=∠CGF，根據(jù)等量代換就可解決問題；
（2）如圖2，延長DO交圓于M，連接AM，CM，根據(jù)三角形中位線定理可得OF=$\frac{1}{2}$MC，要證AB=2OF，只需證AB=MC，根據(jù)等角的余角相等可得∠ADM=∠CDB，即可得到∠ADB=∠MDC，從而得到AB=MC，問題得以解決；
（3）如圖3，在KC上取一點(diǎn)F，使得BF=BA，連接CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得KF=AK=1，∠BAF=∠BFA，則有∠ABF=180°-2∠BAF．由∠BAC=∠BCD可得BC=BD，即可得到∠BCD=∠BDC，則有∠DBC=180°-2∠BCD，從而可得∠ABF=∠DBC，即可得到∠ABD=∠FBC，從而可證到△ABD≌△FBC，則有AD=FC，即可得到FC=AD=AB=BF．設(shè)FC=x，則BF=x，KC=x+1．根據(jù)勾股定理可得BK²=BF²-KF²=BC²-KC²，即x²-1^2₌12²-（x+1）²，解得x=8，則AB=FC=8．易證△BAF∽△BCD，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可求出CD的值．

解答 證明：（1）如圖1，

∵AC⊥BD，
∴∠CED=90°．
∵OF⊥CD于點(diǎn)F，
∴∠GFC=90°．
∴∠CGF=∠CDE=90°-∠ECD，
∵∠OGA=∠CGF，
∴∠OGA=∠CDE，
∵∠CDE=∠BAC，
∴∠OGA=∠BAC；

（2）如圖2，延長DO交圓于M，連接AM，CM，

∵O為MD的中點(diǎn)，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，
∴OF為△DCM的中位線，
∴OF=$\frac{1}{2}$MC，
∵∠AMD=∠ACD，∠MAD=90°
∴∠ADM+∠AMD=90°，∠ACD+∠CDB=90°，
∴∠ADM=∠CDB，
∴∠ADB=∠MDC，
∴AB=MC，
∴AB=2OF；

（3）如圖3，在KC上取一點(diǎn)F，使得BF=BA，連接CD，

∵BF=BA，BK⊥AF，
∴KF=AK=1，∠BAF=∠BFA，
∴∠ABF=180°-2∠BAF．
∵∠BAC=∠BCD，
∴BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠DBC=180°-2∠BCD，
∴∠ABF=∠DBC，
∴∠ABF+∠FBD=∠DBC+∠FBD，即∠ABD=∠FBC．
在△ABD和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BF}\\{∠ABD=∠FBC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△FBC，
∴AD=FC．
∵AB=AD，
∴FC=AB=BF．
設(shè)FC=x，則BF=x，KC=x+1．
∵BK⊥AC，即$∠\\;BKC=90°$BKC=90°，
∴BK²=BF²-KF²=BC²-KC²，
∴x²-1^2₌12²-（x+1）²，
整理得x²+x-72=0，
解得x₁=-9（舍），x₂=8，
∴AB=FC=8．
∵∠ABF=∠DBC，∠BAF=∠BCD，
∴△BAF∽△BCD，
∴$\frac{BA}{BC}$=$\frac{AF}{CD}$，
∴$\frac{8}{12}$=$\frac{2}{CD}$，
∴CD=3．

點(diǎn)評 本題主要考查了圓周角定理、圓周角與弦的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、同角或等角的余角相等、勾股定理、解一元二次方程等知識，綜合性比較強(qiáng)，難度比較大，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等是解決第（3）小題的關(guān)鍵，若出現(xiàn)共頂角頂點(diǎn)且頂角相等的兩個等腰三角形，就會有旋轉(zhuǎn)型全等．