Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交斜邊AB于點(diǎn)E．
（1）點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF，（如圖1），求證：EF是⊙O的切線；
（2）連接EO并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為3，∠EAC=60°（如圖2），求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)CE，求出EF=CF=BF，推出∠1+∠3=∠2+∠4，求出∠ACB=∠OEF=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．
（2）證出△AOE是等邊三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：連結(jié)OE，CE，
∵AC是直徑，
∴∠AEC=90°，
∴∠BEC=90°，
∵F是BC的中點(diǎn)，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=FC，
∴∠1=∠2．
∵OC=OE，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠ACB=∠OEF，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEF=90°，
又∵OE是半徑，
∴EF是⊙O的切線． 
（2）如圖2，∵⊙O的半徑為3，
∴AO=CO=EO=3，
∵∠EAC=60°，OA=OE，
∴∠EOA=60°，
∴∠COD=∠EOA=60°，
∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，
∴CD=3$\sqrt{3}$
∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
CD=3$\sqrt{3}$，AC=6，
∴AD=3$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．